역함수 치환 적분 합

[출제의도] 함수의 그래프와 정적분의 성질을 이용하여 정적분의 값을 구할 수 있는가? $f ( x ) = a \sin ^{3} x + b \sin x$에서 $\displaystyle f \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{4} a + \frac{\sqrt{2}}{2} b = 3 \sqrt{2}$이므로 $a + 2 b = 12$ $\cdots \text{㉠}$ $\displaystyle f \left( \frac{\pi}{3} \right) = 3 \frac{\sqrt{3}}{8} a + \frac{\sqrt{3}}{2} b = 5 \sqrt{3}$이므로 $3 a + 4 b = 40$ $\cdots \text{㉡}$ $\text{㉠} , \text{㉡}$을 연립하면 $a = 16 , b = - 2$ 따라서 $f ( x ) = 16 \sin ^{3} x - 2 \sin x$이므로 함수 $f ( x )$의 주기는 $2 \pi$이고, 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 직선 $\displaystyle x = n \pi + \frac{\pi}{2}$ ($n$은 정수)에 대하여 대칭이다. 이때 $f' ( x ) = 48 \sin ^{2} x \cos x - 2 \cos x$ $= 2 \cos x \left( 24 \sin ^{2} x - 1 \right) = 0$이므로 $f' ( x ) = 0$에서 $\cos x = 0$ 또는 $\displaystyle \sin x = \pm \frac{\sqrt{6}}{12}$ 따라서 함수 $f ( x )$의 극댓값은 $14$이거나 $1$보다 작으므로 함수 $y = f ( x )$의 그래프에서 $1 < t < 14$인 실수 $t$에 대하여 $1 < f \left( x _{n} \right) < 14$이고, $x _{n} = ( n - 1 ) \pi + ( - 1 ) ^{n-1} x _{1}$ (ⅰ) $n$이 홀수일 때 $f' ( x _{n} ) = f' ( x _{1} )$이므로 $\displaystyle c _{n} = \int _{3 \sqrt{2}} ^{5 \sqrt{3}} \frac{t}{f' ( x _{n} )} dt = \int _{3 \sqrt{2}} ^{5 \sqrt{3}} \frac{t}{f' ( x _{1} )} dt$ (ⅱ) $n$이 짝수일 때 $f' ( x _{n} ) = - f' ( x _{1} )$이므로 $\displaystyle c _{n} = \int _{3 \sqrt{2}} ^{5 \sqrt{3}} \frac{t}{f' ( x _{n} )} dt = - \int _{3 \sqrt{2}} ^{5 \sqrt{3}} \frac{t}{f' ( x _{1} )} dt$ (ⅰ), (ⅱ)에서 $c _{1} + c _{2} = c _{3} + c _{4} = \cdots = c _{99} + c _{100} = 0$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{101} c _{n} = c _{101} = c _{1}$ 이제 $\displaystyle c _{1} = \int _{3 \sqrt{2}} ^{5 \sqrt{3}} {} \frac{t}{f' ( x _{1} )} dt$의 값을 구하자. $\displaystyle \frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{3}$에서 함수 $g ( x )$를 $g ( x ) = f ( x )$로 정의하면 함수 $y = g ( x )$는 일대일대응이므로 $h = g ^{-1}$라 하자. $f ( x _{1} ) = t$에서 $g ( x _{1} ) = t$이므로 $h ( t ) = x _{1}$ 따라서 역함수의 미분법에 의해 $\displaystyle \frac{1}{f' ( x _{1} )} = \frac{1}{g' ( x _{1} )} = h' ( t )$이므로 $\displaystyle c _{1} = \int _{3 \sqrt{2}} ^{5 \sqrt{3}} {} \frac{t}{f' ( x _{1} )} dt = \int _{3 \sqrt{2}} ^{5 \sqrt{3}} {} {th' ( t )} dt$ 이때 $h ( t ) = y$라 하면 $t = g * y ) = f ( y )$이고, $\displaystyle t = 3 \sqrt{2}$일 때, $\displaystyle y = \frac{\pi}{4}$ $\displaystyle \left( f \left( \frac{\pi}{4} \right) = 3 \sqrt{2} \right.$이므로$\displaystyle \begin{matrix} {} \\ {} \end{matrix} )$ $\displaystyle t = 5 \sqrt{3}$일 때, $\displaystyle y = \frac{\pi}{3}$ $\displaystyle \left( f \left( \frac{\pi}{3} \right) = 5 \sqrt{3} \right.$이므로$\displaystyle \begin{matrix} {} \\ {} \end{matrix} )$ 한편, $h ( t ) = y$에서 $\displaystyle \frac{dy}{dt} = h' ( t )$이다. 따라서 $\displaystyle \int _{3 \sqrt{2}} ^{5 \sqrt{3}} t h' ( t ) dt = \int _{\frac{\pi}{4}} ^{\frac{\pi}{3}} f ( y ) dy$ $\displaystyle = \int _{\frac{\pi}{4}} ^{\frac{\pi}{3}} \left( 16 \sin ^{3} x - 2 \sin x \right) dx$ $\displaystyle = \int _{\frac{\pi}{4}} ^{\frac{\pi}{3}} \left\{ 16 \sin x \left( 1 - \cos ^{2} x \right) - 2 \sin x \right\} dx$ $\displaystyle = 14 \int _{\frac{\pi}{4}} ^{\frac{\pi}{3}} \sin x dx - 16 \int _{\frac{\pi}{4}} ^{\frac{\pi}{3}} \sin x \cos ^{2} x dx$ $\displaystyle = 14 \left[ - \cos x \right] _{\frac{\pi}{4}} ^{\frac{\pi}{3}} - 16 \left[ - \frac{1}{3} \cos ^{3} x \right] _{\frac{\pi}{4}} ^{\frac{\pi}{3}}$ $\displaystyle = 14 \left( - \cos \frac{\pi}{3} + \cos \frac{\pi}{4} \right) + \frac{16}{3} \left( \cos ^{3} \frac{\pi}{3} - \cos ^{3} \frac{\pi}{4} \right)$ $\displaystyle = 14 \left( - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + \frac{16}{3} \left( \frac{1}{8} - \frac{\sqrt{2}}{4} \right)$ $\displaystyle = - 7 + 7 \sqrt{2} + \frac{2}{3} - 4 \frac{\sqrt{2}}{3}$ $\displaystyle = - \frac{19}{3} + \frac{17 \sqrt{2}}{3}$이므로 $\displaystyle c _{1} = - \frac{19}{3} + \frac{17 \sqrt{2}}{3}$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{101} c _{n} = c _{101} =$$\displaystyle c _{1} = - \frac{19}{3} + \frac{17 \sqrt{2}}{3}$ 따라서 $\displaystyle p = - \frac{19}{3} , q = \frac{17}{3}$이므로 $\displaystyle q - p = \frac{17 + 19}{3} = 12$