역함수 변곡점

[출제의도] 수학내적문제 해결능력-미분법 $f ( x ) = x ^{3} - 4 x ^{2}$이므로 $f' ( x ) = 3 x ^{2} - 8 x = x ( 3 x - 8 )$ $f'' ( x ) = 6 x - 8$ 함수 $y = f ( \ln x ) ( x > 0 )$에 대하여 $\displaystyle y' = f' ( \ln x ) \times \frac{1}{x}$ 이므로 $y' = 0$에서 $f' ( \ln x ) = 0$이어야 한다. 따라서 $\ln x = 0$ 또는 $\displaystyle \ln x = \frac{8}{3}$ 이어야 하므로 $x = 1$ 또는 $\displaystyle x = e ^{\frac{8}{3}}$ 이고, 이 $x$값의 좌우에서 $\displaystyle y' = f' ( \ln x ) \times \frac{1}{x}$의 부호가 바뀌므로 $\displaystyle a = 1 , b = e ^{\frac{8}{3}}$ 한편, $g ( x ) = f ( \ln x ) ( a \leq x \leq b )$에서 $\displaystyle g' ( x ) = f' ( \ln x ) \times \frac{1}{x}$이므로 $\displaystyle g'' ( x ) = f'' ( \ln x ) \times \frac{1}{x ^{2}} + f' ( \ln x ) \times \left( - \frac{1}{x ^{2}} \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{x ^{2}} \left\{ f'' ( \ln x ) - f' ( \ln x ) \right\}$ $\ln x = t$라 하면 $g'' ( x ) = 0$에서 $f'' ( \ln x ) - f' ( \ln x ) = f'' ( t ) - f' ( t )$ $= 6 t - 8 - ( 3 t ^{2} - 8 t )$ $= - 3 t ^{2} + 14 t - 8$ $= - ( 3 t - 2 ) ( t - 4 ) = 0$ $\displaystyle 0 \leq t \leq \frac{8}{3}$이므로 $\displaystyle t = \frac{2}{3}$ 따라서 $\displaystyle \ln x = \frac{2}{3}$에서 $\displaystyle x = e ^{\frac{2}{3}}$ 이때 $\displaystyle x = e ^{\frac{2}{3}}$의 좌우에서 $g'' ( x )$의 부호가 변하므로 곡선 $y = g ( x )$의 변곡점의 좌표는 $\displaystyle \left( e ^{\frac{2}{3}} , g \left( e ^{\frac{2}{3}} \right) \right)$이다. 그런데 함수 $g ( x ) = f ( \ln x ) ( a \leq x \leq b )$의 역함수 $h ( x )$의 그래프는 함수 $g ( x )$의 그래프와 직선 $y = x$에 대하여 대칭이므로 곡선 $y = h ( x )$의 변곡점의 좌표는 점$\displaystyle \left( e ^{\frac{2}{3}} , g \left( e ^{\frac{2}{3}} \right) \right)$을 직선 $y = x$에 대하여 대칭이동한 점, 즉 점 $\displaystyle \left( g \left( e ^{\frac{2}{3}} \right) , e ^{\frac{2}{3}} \right)$이다. 따라서 $\displaystyle m = g ( e ^{\frac{2}{3}} ) , n = e ^{\frac{2}{3}}$ 이므로 $\displaystyle h ( m ) = n = e ^{\frac{2}{3}}$ 따라서 역함수의 미분법에 의해 $\displaystyle h' ( m ) = \frac{1}{g' ( h ( m ) )} = \frac{1}{g' \left( e ^{\frac{2}{3}} \right)}$ 그런데 $\displaystyle g' ( x ) = f' \left( \ln e ^{\frac{2}{3}} \right) \times \frac{1}{e ^{\frac{2}{3}}} = f' \left( \frac{2}{3} \right) \times \frac{1}{e ^{\frac{2}{3}}}$ 이때 $\displaystyle f' \left( \frac{2}{3} \right) = \frac{2}{3} \left( 3 \times \frac{2}{3} - 8 \right) = - 4$ 이므로 $\displaystyle h' ( m ) = \frac{1}{g' ( e ^{\frac{2}{3}} ) )} = \frac{e ^{\frac{2}{3}}}{- 4} = - \frac{e ^{\frac{2}{3}}}{4}$ 따라서 $\displaystyle a \times b \times h' ( m ) = 1 \times e ^{\frac{8}{3}} \times \left( - \frac{e ^{\frac{2}{3}}}{4} \right) = - \frac{e ^{\frac{10}{3}}}{4}$ 이므로 $p + q = 3 + 10 = 13$