공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

역행렬 존재 조건

문제

$x < 2$ 인 임의의 실수 $x$ 에 대하여 행렬 $\displaystyle {\begin{pmatrix} 2 ^{x} & a + 4 \\ - 1 & 2 ^{x} - 4 \end{pmatrix}}$ 의 역행렬이 존재하도록 하는 실수 $a$ 의 값의 범위는? [4점] ① $- 5 \leq a < - 1$ ② $- 4 \leq a < 0$ ③ $- 3 \leq a < 1$ ④ $a \leq - 3$ 또는 $a > 1$ ⑤ $a \leq - 4$ 또는 $a > 0$

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⑤

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[출제의도] 지수함수의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 행렬 $\displaystyle \left( \begin{array}{ll} {\begin{matrix} 2 ^{x} & a + 4 \\ - 1 & 2 ^{x} - 4 \end{matrix}} \end{array} \right)$ 의 역행렬이 존재하므로 $( 2 ^{x} ) ^{2} - 4 \times 2 ^{x} + a + 4 \ne 0$ $x < 2$ 이므로 $2 ^{x} = t$ 라 하면 $0 < t < 4$ 이고 $f ( t ) = t ^{2} - 4 t + a + 4$ $= ( t - 2 ) ^{2} + a$ 라 할 때, $f ( t ) \ne 0$ 이므로 $f ( 0 ) \leq 0$ 또는 $f ( 2 ) > 0$ 그러므로 $a \leq - 4$ 또는 $a > 0$

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