공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

역행렬 조건과 자취

문제

좌표평면 위의 점 P(x,y)\mathrm{P} ( x , y )에 대하여 행렬 A=(xyy−x)\displaystyle A = \begin{pmatrix} x & y \\ y & - x \end{pmatrix}는 A=100A−1A = 100 A ^{-1}을 만족시킨다. 점 P\mathrm{P}가 나타내는 도형의 둘레의 길이를 aa라 할 때, aπ\displaystyle \frac{a}{\pi}의 값을 구하시오. (단, A−1A ^{-1}은 AA의 역행렬이다.) [4점]

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해설

A=100A−1A = 100 A ^{-1}에서 (xyy−x)=100−x2−y2(−x−y−yx)\displaystyle \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{x}{y} \genfrac{}{}{0pt}{}{y}{- x} \right) = \frac{100}{- x ^{2} - y ^{2}} \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{- x}{- y} \genfrac{}{}{0pt}{}{- y}{x} \right) =100x2+y2(xyy−x)\displaystyle = \frac{100}{x ^{2} + y ^{2}} \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{x}{y} \genfrac{}{}{0pt}{}{y}{- x} \right) ∴ 100x2+y2=1\displaystyle \frac{100}{x ^{2} + y ^{2}} = 1 ∴ x2+y2=100x ^{2} + y ^{2} = 100 따라서 점 P가 나타내는 도형은 반지름이 10인 원이고, 이 원의 둘레 a=20πa = 20 \pi이다. ∴ aπ=20\displaystyle \frac{a}{\pi} = 20

태그

#역행렬#원#자취

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