대수수학적 귀납법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

역행렬 조건과 계차 점화식

문제

실수 tt의 값에 관계없이 행렬 (t4t−11t+2p)\displaystyle \begin{pmatrix} t & 4 t - 1 \\ 1 & t + 2 p \end{pmatrix}의 역행렬이 존재하도록 하는 자연수 pp에 대하여, 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 a1=−2a _{1} = - 2, an+1=an+pn+3a _{n+1} = a _{n} + pn + 3 (n=1,2,3,⋯n = 1 , 2 , 3 , \cdots) 을 만족시킬 때, a10a _{10}의 값을 구하시오. [4점]

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115

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해설

[출제의도] 계차수열을 이용하여 수열의 일반항을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. (t4t−11t+2p)\displaystyle \begin{pmatrix} t & 4 t - 1 \\ 1 & t + 2 p \end{pmatrix}의 역행렬이 존재하므로 t(t+2p)−(4t−1)≠0t ( t + 2 p ) - ( 4 t - 1 ) \ne 0, t2+2(p−2)t+1≠0t ^{2} + 2 ( p - 2 ) t + 1 \ne 0 실수 tt의 값에 관계없이 성립하여야 하므로 D4\displaystyle \frac{D}{4}=(p−2)2−1<0= ( p - 2 ) ^{2} - 1 < 0, 1<p<31 < p < 3 ∴ p=2p = 2 an+1=an+2n+3a _{n+1} = a _{n} + 2 n + 3이므로 a10=−2+∑k=19(2k+3)=115\displaystyle a _{10} = - 2 + \sum\limits _{k = 1} ^{9} ( 2 k + 3 ) = 115

태그

#점화식#역행렬#판별식

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