공통수학1행렬과 그 연산수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

역행렬 조건 최단거리

문제

좌표평면에서 직선 x+y=2\displaystyle x + y = \sqrt{2}위에 동점 A(p,q)\mathrm{A} ( \mathit{p} , q )와 원 (x−102)2+(y−102)2=16\displaystyle ( x - 10 \sqrt{2} ) ^{2} + ( y - 10 \sqrt{2} ) ^{2} = 16위에 동점 B(r,s)\mathrm{B} ( \mathit{r} , s )가 있다. 행렬 (pqrs)\displaystyle \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}의 역행렬이 존재하지 않도록 하는 점 A,B\mathrm{A} , B에 대하여 선분 AB\mathrm{AB}의 길이의 최솟값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 역행렬이 존재하지 않을 조건과 점과 직선사이의 거리를 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다. 역행렬이 존재하지 않으므로 PS−QR=0PS - QR = 0이다. 이를 변형하면 q−0p−0=s−0r−0\displaystyle \frac{q - 0}{p - 0} = \frac{s - 0}{r - 0}이므로 (기울기가 같으므로) 원점과 점 A\mathrm{A}, 점 B\mathrm{B}는 일직선상에 있다. 선분 AB\mathrm{AB}의 최소길이는 원점과 점 A\mathrm{A}, 점 B\mathrm{B}가 일직선상에 있으면서 원 위의 점으로 부터 직선 위의 있는 점까지의 최단거리이다. 원점에서 직선 x+y=2\displaystyle x + y = \sqrt{2}까지의 거리는 11이고 원점에서 원의 중심까지의 거리는 2020이고 원의 반지름이 44이다. 따라서 최단거리는 20−4−1=1520 - 4 - 1 = 15이다.

태그

#역행렬#최단거리#원

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