약수의 개수로 카드 나누기

실마리: 약수의 개수가 $k$인 수의 꼴을 $k$의 분해로 거꾸로 추론한다. $n = p ^{a} q ^{b} \cdots$ ($p$, $q$, $\cdots$는 서로 다른 소수)의 약수의 개수는 $( a + 1 ) ( b + 1 ) \cdots$이다. [1] 약수의 개수가 소수 $k$인 수는 $p ^{k - 1}$ 꼴이다. $k = 2$ : 소수이므로 $100$ 이하에 $25$장 $k = 3$ : $p ^{2}$ 꼴이므로 $4 , 9 , 25 , 49$의 $4$장 $k = 5$ : $p ^{4}$ 꼴이므로 $16 , 81$의 $2$장 $k = 7$ : $p ^{6}$ 꼴이므로 $64$의 $1$장 $k \geq 11$ : $2 ^{10} > 100$이므로 없다. [2] 약수의 개수가 합성수인 상자 $k = 4$ : $p ^{3}$ 또는 $pq$ 꼴이므로 $8 , 6 , 10 , \cdots$ 등 여러 장 $k = 6$ : $p ^{5}$ 또는 $p ^{2} q$ 꼴이므로 $32 , 12 , 18 , \cdots$ 등 여러 장 $k = 8$ : $p ^{3} q$ 또는 $pqr$ 꼴이므로 $24 , 30 , 40 , \cdots$ 등 여러 장 $k = 9$ : $p ^{8}$ 또는 $p ^{2} q ^{2}$ 꼴이고 $2 ^{8} > 100$이므로 $36 , 100$의 $2$장 $k = 10$ : $p ^{9}$ 또는 $p ^{4} q$ 꼴이고 $2 ^{9} > 100$이므로 $16 \times 3 = 48$, $16 \times 5 = 80$의 $2$장 ($81 \times 2 > 100$) $k = 12$ : $p ^{2} q r$, $p ^{3} q ^{2}$, $p ^{5} q$ 꼴 등에서 $60 , 72 , 84 , 90 , 96$의 $5$장 $k \geq 14$ : 약수의 개수가 $14$ 이상인 $100$ 이하의 자연수는 없다 ($p ^{6} q \geq 192$, $p ^{4} q ^{2} \geq 144$, $p ^{2} q ^{2} r \geq 180$, $p ^{3} qr \geq 120$). $k = 1$ : $1$의 $1$장 [3] 카드가 정확히 두 장 들어 있는 상자는 $5$번, $9$번, $10$번이다. 따라서 상자의 번호의 합은 $5 + 9 + 10 = 24$