대수수열의 합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

약수 부호 합 보기

문제

자연수 nn의 모든 양의 약수를 a1,a2,⋯ ,aka _{1} , a _{2} , \cdots , a _{k}라 할 때, xn=(−1)a1+(−1)a2+⋯+(−1)akx _{n} = ( - 1 ) ^{a_{1}} + ( - 1 ) ^{a_{2}} + \cdots + ( - 1 ) ^{a_{k}} 이라 하자. <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

<보 기>
ㄱ. x8=2x _{8} = 2 ㄴ. n=3mn = 3 ^{m}이면 xn=−m+1x _{n} = - m + 1이다. ㄷ. n=10mn = 10 ^{m}이면 xn=m2−1x _{n} = m ^{2} - 1이다.

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄱ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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①

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해설

ㄱ. 88의 양의 약수는 1,2,4,81 , 2 , 4 , 8이므로 x8=(−1)1+(−1)2+(−1)4+(−1)8=2x _{8} = ( - 1 ) ^{1} + ( - 1 ) ^{2} + ( - 1 ) ^{4} + ( - 1 ) ^{8} = 2 ∴\therefore 참 ㄴ. 3m3 ^{m}의 양의 약수 aka _{k}는 모두 홀수이고 (−1)ak( - 1 ) ^{a_{k}}=−1= - 1이다. 양의 약수의 개수는 m+1m + 1개이므로 xn=x3m=(−1)(m+1)=−m−1x _{n} = x _{3 ^{m}} = ( - 1 ) ( m + 1 ) = - m - 1 ∴\therefore 거짓 ㄷ. (반례) m=log⁡2m = \log 2라 가정하면 n=10log⁡2=2n = 10 ^{\log 2} = 2 좌변 xn=0x ^{n} = 0, 우변 (log⁡2)2−1( \log 2 ) ^{2} - 1이므로 거짓

태그

#약수#수열

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