공통수학1이차방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

약수 3개인 두 근

문제

이차방정식 $x ^{2} - a x + b = 0$ 의 두 근이 $c$ 와 $d$ 일 때, 다음 조건을 만족하는 순서쌍 $( a , b )$ 의 개수는? (단, $a$ 와 $b$ 는 상수이다) [4점]

(가) $a$ , $b$ , $c$ , $d$ 는 $100$ 이하의 서로 다른 자연수이다. (나) $c$ 와 $d$ 는 각각 $3$ 개의 양의 약수를 가진다.

① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$

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②

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해설

[출제의도] 이차방정식의 근과 계수와의 관계 및 양의 약수 추론하기 양의 약수가 홀수 개인 자연수는 완전제곱수이며, 양의 약수가 3개인 것은 소수의 제곱수이다. 조건에서 $c , d$ 는 $2 ^{2} , 3 ^{2} , 5 ^{2} , 7 ^{2}$ 의 네 가지 중 하나이다. 근과 계수와의 관계에서 $a = c + d$ , $b = c d$ 이고 $a , b$ 는 서로 다른 $100$ 이하의 자연수이므로 순서쌍 $( a , b )$ 는 $( 2 ^{2} + 3 ^{2} , 2 ^{2} \cdot 3 ^{2} )$ 과 $( 2 ^{2} + 5 ^{2} , 2 ^{2} \cdot 5 ^{2} )$

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