xsinx 넓이 이등분

[출제의도]정적분의 성질과 부분적분법을 이용하여 두 영역의 넓이가 같을 조건을 구할 수 있는가? $\displaystyle \int _{0} ^{k} x \sin x dx = \int _{k} ^{\frac{\pi}{2}} ( \frac{\pi}{2} - x \sin x dx ) dx$ $\displaystyle \int _{0} ^{k} x \sin x dx = \int _{k} ^{\frac{\pi}{2}} \frac{\pi}{2} dx - \int _{k} ^{\frac{\pi}{2}} x \sin x dx$ $\displaystyle \int _{0} ^{k} x \sin x dx + \int _{k} ^{\frac{\pi}{2}} x \sin x dx = \int _{k} ^{\frac{\pi}{2}} \frac{\pi}{2} dx$ $\displaystyle \int _{0} ^{\frac{\pi}{2}} x \sin x dx = \int _{k} ^{\frac{\pi}{2}} \frac{\pi}{2} dx$ 이때, $f ( x ) = x$, $g' ( x ) = \sin x$라고 하면 $f' ( x ) = 1$, $g ( x ) = - \cos x$ 이므로 (좌변)$\displaystyle = [ - x \cos x ] _{0} ^{\frac{\pi}{2}} - \int _{0} ^{\frac{\pi}{2}} ( - \cos x ) dx$ $\displaystyle = \int _{0} ^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$ $\displaystyle = [ \sin x ] _{0} ^{\frac{\pi}{2}} = 1$ (우변)$\displaystyle = [ \frac{\pi}{2} x ] _{k} ^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi ^{2}}{4} - \frac{\pi}{2} k$ 따라서 $\displaystyle 1 = \frac{\pi ^{2}}{4} - \frac{\pi}{2} k$ 이므로 $\displaystyle \frac{\pi}{2} k = \frac{\pi ^{2}}{4} - 1$ $\therefore$ $\displaystyle k = \frac{\pi}{2} - \frac{2}{\pi}$