공통수학2평면좌표AI기본 문제 (3점 중반)

x축 위의 점까지의 거리의 합

문제

좌표평면 위의 두 점 A(1,1)\mathrm{A} ( 1 , 1 ), B(5,2)\mathrm{B} ( 5 , 2 ) 와 xx축 위를 움직이는 점 P\mathrm{P} 가 있다. PA‾+PB‾\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} + \overline{\mathrm{PB}} 의 최솟값을 구하시오. [3점]

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해설

두 점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B} 가 xx축에 대하여 같은 쪽에 있으므로 점 A\mathrm{A} 의 xx축에 대한 대칭점 A′(1,−1)\mathrm{A}' ( 1 , - 1 ) 을 잡는다. 점 P\mathrm{P} 가 xx축 위의 점이므로 PA‾=PA′‾\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} = \overline{\mathrm{PA}'} 이고 PA‾+PB‾=PA′‾+PB‾≥A′B‾\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} + \overline{\mathrm{PB}} = \overline{\mathrm{PA}'} + \overline{\mathrm{PB}} \geq \overline{\mathrm{A}' B} 등호는 점 P\mathrm{P} 가 선분 A′B\mathrm{A}' B 와 xx축의 교점일 때 성립한다. A′B‾=(5−1)2+(2+1)2=16+9=25=5\displaystyle \overline{\mathrm{A}' B} = \sqrt{( 5 - 1 ) ^{2} + ( 2 + 1 ) ^{2}} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 따라서 최솟값은 55이다.

태그

#거리의 합의 최소#대칭이동#두 점 사이의 거리

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