x축 위의 점까지의 거리 제곱의 합

선분 $\mathrm{AB}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 하면 $\displaystyle \mathrm{M} \left( \frac{- 3 + 5}{2} , \frac{2 + 8}{2} \right)$, 즉 $\mathrm{M} ( 1 , 5 )$ $\displaystyle \overline{\mathrm{AM}} = \sqrt{( 1 + 3 ) ^{2} + ( 5 - 2 ) ^{2}} = 5$ 삼각형 $\mathrm{PAB}$에서 중선정리에 의하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} ^{2} + \overline{\mathrm{PB}} ^{2} = 2 \overline{\mathrm{PM}} ^{2} + 2 \overline{\mathrm{AM}} ^{2} = 2 \overline{\mathrm{PM}} ^{2} + 50$ 점 $\mathrm{P}$가 $x$축 위를 움직일 때 $\displaystyle \overline{\mathrm{PM}}$은 점 $\mathrm{M} ( 1 , 5 )$에서 $x$축까지의 거리 $5$ 이상이고, $\mathrm{P} ( 1 , 0 )$일 때 $\displaystyle \overline{\mathrm{PM}} = \mathit{5}$이다. (검산: $\mathrm{P} ( t , 0 )$으로 두면 $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} ^{2} + \overline{\mathrm{PB}} ^{2} = ( t + 3 ) ^{2} + 4 + ( t - 5 ) ^{2} + 64 = 2 ( t - 1 ) ^{2} + 100$) 따라서 구하는 최솟값은 $2 \times 25 + 50 = 100$