x=tanθ 치환으로 정적분 구하기

$x = \tan \theta$ $\displaystyle \left( - \frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} \right)$로 놓으면 $dx = \sec ^{2} \theta d \theta$이고 $x = 0$일 때 $\theta = 0$, $x = 1$일 때 $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{4}$ $1 + x ^{2} = 1 + \tan ^{2} \theta = \sec ^{2} \theta$이므로 $\displaystyle \int _{0} ^{1} \frac{1}{1 + x ^{2}} dx = \int _{0} ^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec ^{2} \theta}{\sec ^{2} \theta} d \theta = \int _{0} ^{\frac{\pi}{4}} 1 d \theta = \frac{\pi}{4}$ 따라서 구하는 값은 $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ ②