x sin x 보기

$f ( x ) = x \sin x$에서 $f' ( x ) = \sin x + x \cos x$, $f'' ( x )$$= 2 \cos x - x \sin x$ ㄱ. $f' ( 0 ) = 0$, $f'' ( 0 ) = 2 > 0$이므로 $f ( x )$는 $x = 0$에서 극솟값을 갖는다. (참) ㄴ. 원점에서 곡선 $y = f ( x )$에 그은 접선을 생각하자. 곡선 $y = f ( x )$ 위의 점 $( t , t \sin t )$에서의 접선의 방정식은 $y = ( \sin t + t \cos t ) ( x - t ) + t \sin t$ 위 직선이 원점을 자날 때, $0 = ( \sin t + t \cos t ) ( 0 - t ) + t \sin t$ $t ^{2} \cos t = 0$ ∴ $t = 0$ 또는 $\cos t = 0$ $\displaystyle t = 2 n \pi + \frac{\pi}{2}$($n$은 정수)일 때, $f' ( x ) = 1$이므로 곡선 $y = f ( x )$ 위의 점 $\displaystyle \left( 2 n \pi + \frac{\pi}{2} , 2 n \pi + \frac{\pi}{2} \right)$에서의 접선의 방정식은 $y = x$이다. 따라서 직선 $y = x$는 곡선 $y = f ( x )$에 접한다. (참) ㄷ. $\displaystyle f' \left( \frac{\pi}{2} \right) = 1 > 0$이고 $\displaystyle f' \left( \frac{3}{4} \pi \right)$$\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{2} \left( 1 - \frac{3}{4} \pi \right) < 0$이므로 $f ( a ) = 0$이고 $f' ( x )$의 부호가 $x = a$를 기준으로 양에서 음으로 바뀌도록 하는 $a$가 구간 $\displaystyle \left( \frac{\pi}{2} , \frac{3}{4} \pi \right)$에 존재한다. 따라서 함수 $f ( x )$가 $x = a$에서 극댓값을 갖는 $a$가 구간 $\displaystyle \left( \frac{\pi}{2} , \frac{3}{4} \pi \right)$에 존재한다. (참) 따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다. [다른 풀이] ㄴ. 직선 $y = x$와 곡선 $y = f ( x )$와 점 $( t , t )$에서 접할 때, $f ( t ) = t$이고 $f' ( t ) = 1$이다. $f ( t ) = t$에서 $t \sin t = t$ ∴ $t = 0$ 또는 $\displaystyle t = 2 n \pi + \frac{\pi}{2}$ ($n$은 정수) $t = 0$일 때, $f' ( t ) = 0$이고 $\displaystyle t = 2 n \pi + \frac{\pi}{2}$일 때, $f' ( t ) = 1$이므로 함수 $y = f ( x )$는 직선 $y = x$와 점 $\displaystyle \left( 2 n \pi + \frac{\pi}{2} , 2 n \pi + \frac{\pi}{2} \right)$에서 접한다. (참)