미적분Ⅰ함수의 연속수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

x^k f(x) 연속 최소 k

문제

모든 실수에서 정의된 함수 $y = f ( x )$ 에 대하여 함수 $y = x ^{k} f ( x )$ 가 $x = 0$ 에서 연속이 되도록 하는 가장 작은 자연수 $k$ 를 $N ( f )$ 로 나타내자. 예를 들어, $\displaystyle f ( x ) = {\begin{cases} \frac{1}{x} & ( x \ne 0 ) \\ 0 & ( x = 0 ) \end{cases}} \text{이면} N ( f ) = 2 \text{이다} .$ 다음 함수 $g _{i} ( i = 1 , 2 , 3 )$ 에 대하여 $N ( g _{i} ) = a _{i}$ 라 할 때, $a _{i}$ 의 대소 관계를 옳게 나타낸 것은? [3점]

$\displaystyle g _{1} ( x ) = {\begin{cases} \frac{\left| x \right|}{x} & ( x \ne 0 ) \\ 0 & ( x = 0 ) \end{cases}}$

$\displaystyle g _{2} ( x ) = {\begin{cases} - x ^{2} + 1 & ( x \ne 0 ) \\ 0 & ( x = 0 ) \end{cases}}$

$\displaystyle g _{3} ( x ) = {\begin{cases} \frac{1}{x ^{2}} & ( x \ne 0 ) \\ 0 & ( x = 0 ) \end{cases}}$

① $a _{1} = a _{2} < a _{3}$ ② $a _{1} < a _{2} = a _{3}$ ③ $a _{1} = a _{2} = a _{3}$ ④ $a _{2} = a _{3} < a _{1}$ ⑤ $a _{3} < a _{1} = a _{2}$

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①

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해설

i) $F ( x ) = xg _{1} ( x )$ 라 하면 $\displaystyle F ( x ) = \begin{cases} | x | ( x \neq 0 ) \\ 0 ( x = 0 ) \end{cases}$ 에서 $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 0} F ( x ) = F ( 0 ) = 0$ 이므로 $F ( x ) = xg _{1} ( x )$ 는 $x = 0$ 에서 연속이다. $\therefore a _{1} = N ( g _{1} ) = 1$ ii) $F ( x ) = xg _{2} ( x )$ 라 하면 $\displaystyle F ( x ) = \begin{cases} - x ^{3} + x ( x \neq 0 ) \\ 0 ( x = 0 ) \end{cases}$ 에서 $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 0} F ( x ) = F ( 0 ) = 0$ 이므로 $F ( x ) = xg _{2} ( x )$ 는 $x = 0$ 에서 연속이다. $\therefore a _{2} = N ( g _{2} ) = 1$ iii) $F ( x ) = xg _{3} ( x )$ 라 하면 $\displaystyle F ( x ) = \begin{cases} \frac{1}{x} ( x \neq 0 ) \\ 0 ( x = 0 ) \end{cases}$ 에서 $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 0} F ( x ) = ( \text{발산} )$ 이므로 $F ( x ) = xg _{3} ( x )$ 는 $x = 0$ 에서 불연속이다. 또, $F ( x ) = x ^{2} g _{3} ( x )$ 라 하면 $\displaystyle F ( x ) = \begin{cases} 1 ( x \neq 0 ) \\ 0 ( x = 0 ) \end{cases}$ 에서 $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 0} F ( x ) = 1 \neq 0 = F ( 0 )$ 이므로 $F ( x ) = x ^{2} g _{3} ( x )$ 는 $x = 0$ 에서 불연속이다. $F ( x ) = x ^{3} g _{3} ( x )$ 라 하면 $\displaystyle F ( x ) = \begin{cases} x ( x \neq 0 ) \\ 0 ( x = 0 ) \end{cases}$ 에서 $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 0} F ( x ) = F ( 0 ) = 0$ 이므로 $F ( x ) = x ^{3} g _{3} ( x )$ 는 $x = 0$ 에서 연속이다. $\therefore a _{3} = N ( g _{3} ) = 3$ $\therefore a _{1} = a _{2} < a _{3}$

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