x|f(x)| 극한 조건

조건 (나)에서 $x$에 대한 방정식 $\left\{ g ( x ) \right\} ^{2} + 4 \left\{ g ( x ) \right\} = 0$, 즉 $g ( x ) \left\{ g ( x ) + 4 \right\} = 0$에서 $g ( x ) = 0$ 또는 $g ( x ) = \mathit{-} 4$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 이 방정식의 서로 다른 실근의 개수가 $4$이다. 조건 (가)에서 주어진 극한이 실수 $t$에서 (분모)$\rightarrow 0$이고 양의 실수로 수렴하므로 (분자)$\rightarrow 0$이다. 즉, $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0} \left\{ g ( t + h ) \times g ( t - h ) \right\} = 0$이므로 $\left\{ g ( t ) \right\} ^{2} = 0$ $\therefore$$g ( t ) = 0$ 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{h \rightarrow 0 +} \left\{ \frac{g ( t + h )}{h} \times \frac{g ( t - h )}{h} \right\}$ $\displaystyle = \mathit{-} \lim\limits _{h \rightarrow 0} {} \left\{ \frac{g ( t + h ) - g ( t )}{h} \times \frac{g ( t - h ) - g ( t )}{- h} \right\}$ $= k$ (단, $k$는 양의 실수) 로 놓으면 함수 $g ( x )$의 $x = t$인 지점에서의 우미분계수와 좌미분계수의 부호가 서로 반대가 되게 하는 실수 $t$의 개수가 $1$이다. $\cdots$$\cdots$ ㉡ 최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $f ( x )$에 대하여 $g ( x ) = x \left| f ( x ) \right|$ 이므로 함수 $f ( x )$의 그래프는 $x$축과 반드시 서로 다른 두 점에서 만나야 한다. (ⅰ) $f ( x ) = ( x - \alpha ) ( x - \beta )$일 때 $g ( x ) = x \left| ( x - \alpha ) ( x - \beta ) \right|$이므로 함수 $g ( x )$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

이때 함수 $g ( x )$의 우미분계수와 좌미분계수의 부호가 서로 반대가 되게 하는 실수 $t$의 값은 $\alpha$와 $\beta$이므로 조건 ㉡에 위배 된다. (ⅱ) $f ( x ) = x ( x - \alpha )$$( \alpha > 0 )$일 때 $g ( x ) = x \left| x ( x - \alpha ) \right|$이므로 함수 $g ( x )$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

이때 함수 $g ( x )$의 우미분계수와 좌미분계수의 부호가 서로 반대가 되게 하는 실수 $t$의 값은 $\alpha$뿐이므로 조건 ㉡을 만족하지만, 방정식 ㉠의 서로 다른 실근의 개수가 $3$이므로 위배 된다. (ⅲ) $f ( x ) = x ( x - \alpha )$$( \alpha < 0 )$일 때 $g ( x ) = x \left| x ( x - \alpha ) \right|$이므로 함수 $g ( x )$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

이때 함수 $g ( x )$의 우미분계수와 좌미분계수의 부호가 서로 반대가 되게 하는 실수 $t$의 값은 $\alpha$뿐이므로 조건 ㉡을 만족하며, 방정식 ㉠의 서로 다른 실근의 개수가 $4$이므로 모든 조건을 만족한다. 이상에서 $g ( x ) = x \left| x ( x - \alpha ) \right|$$( \alpha < 0 )$ $\displaystyle g \left( \frac{2}{3} \alpha \right) = \mathit{-} 4$이므로 $\displaystyle \frac{2}{3} \alpha \left| - \frac{2}{3} \alpha \times \frac{1}{3} \alpha \right| = \mathit{-} 4$ $\displaystyle \frac{4}{27} \alpha ^{3} = \mathit{-} 4$ $\therefore$$\alpha = \mathit{-} 3$ $g ( x ) = x \left| x ( x + 3 ) \right|$이므로 $g ( 3 ) = 54$