xⁿe^(-x) 보기

$\displaystyle f ( x ) = \frac{x ^{n}}{e ^{x}}$ $\displaystyle f' ( x ) = \frac{n x ^{n - 1} e ^{x} - e ^{x} x ^{n}}{( e ^{x} ) ^{2}} = \frac{x ^{n - 1} ( n - x )}{e ^{x}}$ ㄱ. $\displaystyle f \left( \frac{n}{2} \right) = \frac{\left( \frac{n}{2} \right) ^{n}}{e ^{\frac{n}{2}}}$에서 $\displaystyle f' \left( \frac{n}{2} \right) = \frac{\left( \frac{n}{2} \right) ^{n - 1} \left( n - \frac{n}{2} \right)}{e ^{\frac{n}{2}}} = \frac{\left( \frac{n}{2} \right) ^{n}}{e ^{\frac{n}{2}}}$ 따라서 $\displaystyle f \left( \frac{n}{2} \right) = f' \left( \frac{n}{2} \right)$ ∴ 참 ㄴ. $f' ( x ) = - x ^{n - 1} ( x - n ) e ^{- x}$ ⅰ) $n$이 홀수일 때

ⅱ) $n$이 짝수일 때

∴ 참 ㄷ. $f'' ( x ) = e ^{- x} x ^{n - 2} ( x ^{2} - 2 nx + n ( n - 1 ) )$ $f'' ( 0 ) = 0$ ⅰ) $n$이 홀수일 때 $x < 0 \rightarrow f'' ( x ) < 0$ $x > 0 \rightarrow f'' ( x ) > 0$ ⅱ) $n$이 짝수일 때 $x < 0 \rightarrow f'' ( x ) > 0$ $x > 0 \rightarrow f'' ( x ) > 0$ $n$이 짝수일 때 $x = 0$좌우에서 $f'' ( x )$의 부호 변화가 없다 ∴ 거짓 (참고) ㄴ에서 $n$이 짝수일 때는 $x = 0$에서 극솟값을 가지므로 $( 0 , 0 )$에서 변곡점이 될 수 없다.