공통수학1다항식의 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

x+1/x=−1 보기

문제

x+1x=−1\displaystyle x + \frac{1}{x} = - 1일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

<보 기>
ㄱ. 1+1x+1x2=0\displaystyle 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x ^{2}} = 0 ㄴ. x+x2+x3+1x+1x2+1x3=1\displaystyle x + x ^{2} + x ^{3} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x ^{2}} + \frac{1}{x ^{3}} = 1 ㄷ. x3n+x3n+1+x3n+2+1x3n+1x3n+1+1x3n+2=0\displaystyle x ^{3n} + x ^{3n+1} + x ^{3n+2} + \frac{1}{x ^{3n}} + \frac{1}{x ^{3n+1}} + \frac{1}{x ^{3n+2}} = 0 (단, nn은 자연수)

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
③

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해설

[출제의도] 유리식의 성질 추론하기 x+1x=−1↔x2+x+1=0\displaystyle x + \frac{1}{x} = - 1 \leftrightarrow x ^{2} + x + 1 = 0이므로, ㄱ. 1+1x+1x2=x2+x+1x2=0\displaystyle 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x ^{2}} = \frac{x ^{2} + x + 1}{x ^{2}} = 0 (참) ㄴ. x+x2+x3+1x+1x2+1x3\displaystyle x + x ^{2} + x ^{3} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x ^{2}} + \frac{1}{x ^{3}} =x(1+x+x2)+x2+x+1x3\displaystyle = x ( 1 + x + x ^{2} ) + \frac{x ^{2} + x + 1}{x ^{3}} =0= 0 (거짓) ㄷ. x3n+x3n+1+x3n+2+1x3n+1x3n+1+1x3n+2\displaystyle x ^{3 n} + x ^{3 n + 1} + x ^{3 n + 2} + \frac{1}{x ^{3 n}} + \frac{1}{x ^{3 n + 1}} + \frac{1}{x ^{3 n + 2}} =x3n(1+x+x2)+1x3n(1+1x+1x2)\displaystyle = x ^{3 n} ( 1 + x + x ^{2} ) + \frac{1}{x ^{3 n}} ( 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x ^{2}} ) =x3n(1+x+x2)+1x3n×x2+x+1x2\displaystyle = x ^{3 n} ( 1 + x + x ^{2} ) + \frac{1}{x ^{3 n}} \times \frac{x ^{2} + x + 1}{x ^{2}} =0= 0 (참)

태그

#곱셈공식#거듭제곱

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