(x-1)의 거듭제곱으로 정리한 식의 계수의 합

양변에 $x = 2$를 대입하면 $x - 1 = 1$이므로 $( 4 - 2 + 2 ) ^{4} = a _{0} + a _{1} + a _{2} + \cdots + a _{8}$, 즉 $a _{0} + a _{1} + a _{2} + \cdots + a _{8} = 256$ …① 양변에 $x = 0$을 대입하면 $x - 1 = - 1$이므로 $( 0 - 0 + 2 ) ^{4} = a _{0} - a _{1} + a _{2} - \cdots + a _{8}$, 즉 $a _{0} - a _{1} + a _{2} - \cdots + a _{8} = 16$ … ② ①- ②에서 $2 ( a _{1} + a _{3} + a _{5} + a _{7} ) = 240$ 따라서 $a _{1} + a _{3} + a _{5} + a _{7} = 120$ ③