원의 중심을 찾아 거리의 제곱의 합 최대

원 $C : x ^{2} + y ^{2} - 6 x - 8 y + 21 = 0$ 에서 $\left( x - 3 \right) ^{2} + \left( y - 4 \right) ^{2} = 4$ 이므로 원 $C$ 의 중심은 $\mathrm{C} \mathit{\left( 3 , 4 \right)}$, 반지름의 길이는 $2$ 이다. 원점을 $\mathrm{O}$ 라 하고 점 $\mathrm{P}$ 의 좌표를 $\left( x , y \right)$ 라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} ^{2} + \overline{\mathrm{PB}} ^{2} = \left( x + 1 \right) ^{2} + y ^{2} + \left( x - 1 \right) ^{2} + y ^{2}$ $\displaystyle = 2 \left( x ^{2} + y ^{2} \right) + 2 = 2 \overline{\mathrm{OP}} ^{2} + 2$ 이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}$ 가 최대일 때 최댓값을 갖는다. $\displaystyle \overline{\mathrm{OC}} = \sqrt{3 ^{2} + 4 ^{2}} = 5$ 이고 원 $C$ 의 반지름의 길이가 $2$ 이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}$ 의 최댓값은 $5 + 2 = 7$ 따라서 구하는 최댓값은 $2 \times 7 ^{2} + 2 = 100$