원의 접선과 삼각형 넓이

직선 $l$과 직선 ${\mathrm{BP}}$가 서로 수직이므로 직선 ${\mathrm{BP}}$는 원의 중심을 지나고, 선분 ${\mathrm{BP}}$는 원 $O$의 지름이다. 원 $O$의 중심을 ${\mathrm{O}}$, 선분 ${\mathrm{AO}}$와 선분 ${\mathrm{BC}}$가 만나는 점을 ${\mathrm{D}}$라 하자.

$\displaystyle {\overline{\mathrm{AO}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{AB}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{BO}}} ^{2} = 12 ^{2} + \left( 3 \sqrt{2} \right) ^{2} = 162$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AO}}} = \sqrt{162} = 9 \sqrt{2}$ 삼각형 ${\mathrm{AOB}}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AO}}} \times {\overline{\mathrm{BD}}} = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AB}}} \times {\overline{\mathrm{BO}}}$ $\displaystyle \frac{1}{2} \times 9 \sqrt{2} \times {\overline{\mathrm{BD}}} = \frac{1}{2} \times 12 \times 3 \sqrt{2}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{BD}}} = 4$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} = 2 \times {\overline{\mathrm{BD}}} = 8$ 원주각의 성질에 의하여 $\angle {\mathrm{BPQ}} = \angle {\mathrm{BCQ}}$, $\angle {\mathrm{QPC}} = \angle {\mathrm{QBC}}$ $\sin \left( \angle {\mathrm{BCQ}} \right) : \sin \left( \angle {\mathrm{QBC}} \right) = 3 : 1$ 삼각형 ${\mathrm{BQC}}$에서 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{BQ}}}}{\sin \left( \angle {\mathrm{BCQ}} \right)} = \frac{{\overline{\mathrm{QC}}}}{\sin \left( \angle {\mathrm{QBC}} \right)}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{BQ}}} : {\overline{\mathrm{QC}}} = 3 : 1$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{QC}}} = k \left( k > 0 \right)$이라 하면, $\displaystyle {\overline{\mathrm{BQ}}} = 3 k$ 삼각형 ${\mathrm{BCP}}$는 $\displaystyle \angle {\mathrm{BCP}} = \frac{\pi}{2}$인 직각삼각형이므로 $\angle {\mathrm{BPC}} = \theta$라 하면 $\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ 직각삼각형 ${\mathrm{BCP}}$에서 $\displaystyle \sin \theta = \frac{{\overline{\mathrm{BC}}}}{{\overline{\mathrm{BP}}}} = \frac{8}{6 \sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ $\displaystyle \cos ^{2} \theta = 1 - \sin ^{2} \theta = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$ $\displaystyle \cos \theta = \frac{1}{3}$ 사각형 ${\mathrm{BQCP}}$는 원 $O$에 내접하므로 $\angle {\mathrm{CQB}} = \pi - \theta$이다. $\displaystyle \cos \left( \angle {\mathrm{CQB}} \right) = \cos \left( \pi - \theta \right) = - \cos \theta = - \frac{1}{3}$ 삼각형 ${\mathrm{BQC}}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle 8 ^{2} = k ^{2} + \left( 3 k \right) ^{2} - 2 \times k \times 3 k \times \left( - \frac{1}{3} \right)$ $\displaystyle k ^{2} = \frac{16}{3}$ 따라서 삼각형 ${\mathrm{BQC}}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{BQ}}} \times {\overline{\mathrm{QC}}} \times \sin \left( \angle {\mathrm{CQB}} \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times 3 k \times k \times \frac{2 \sqrt{2}}{3} = k ^{2} \times \sqrt{2} = \frac{16 \sqrt{2}}{3}$