기하평면벡터수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원의 접선과 내적

문제

그림과 같이 선분 AB\mathrm{AB}를 지름으로 하는 원 위의 점 P\mathrm{P}에서의 접선과 직선 AB\mathrm{AB}가 만나는 점을 Q\mathrm{Q}라 하자. 점 Q\mathrm{Q}가 선분 AB\mathrm{AB}를 5:15 : 1로 외분하는 점이고, BQ‾=3\displaystyle \mathrm{\overline{BQ}} = \sqrt{3}일 때, AP⃗⋅AQ⃗\mathrm{\vec{AP}} \cdot \mathrm{\vec{AQ}}의 값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 원의 접선을 이용하여 평면벡터의 내적에 대한 문제를 해결한다. 선분 AB\mathrm{AB}의 중점을 O\mathrm{O}라 하면 점 Q\mathrm{Q}가 선분 AB\mathrm{AB}를 5:15 : 1로 외분하는 점이고, BQ‾=3\displaystyle \mathrm{\overline{BQ}} = \sqrt{3}이므로 AO‾=OB‾=OP‾=23\displaystyle \mathrm{\overline{AO}} = {\overline{OB}} = {\overline{OP}} = 2 \sqrt{3} AP⃗⋅AQ⃗\mathrm{\vec{AP}} \cdot \mathrm{\vec{AQ}}=(AO⃗+OP⃗)⋅AQ⃗= \left( \mathrm{\vec{AO}} + \mathrm{\vec{OP}} \right) \cdot \mathrm{\vec{AQ}} =AO⃗⋅AQ⃗+OP⃗⋅(53OQ⃗)\displaystyle = \mathrm{\vec{AO}} \cdot \mathrm{\vec{AQ}} + \mathrm{\vec{OP}} \cdot \left( \frac{5}{3} \mathrm{\vec{OQ}} \right) =∣AO⃗∣×∣AQ⃗∣+53×∣OP⃗∣2\displaystyle = \mathrm{\left| {\vec{AO}} \right|} \times \mathrm{\left| {\vec{AQ}} \right|} + \frac{5}{3} \times \left| \mathrm{\vec{OP}} \right| ^{2}=23×53+53×(23)2\displaystyle = \mathrm{2} \sqrt{3} \times 5 \sqrt{3} + \frac{5}{3} \times \left( 2 \sqrt{3} \right) ^{2}=50= 50

태그

#벡터의 내적#원의 접선

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