원의 접선과 거리

$\displaystyle \sqrt{21}$ $\displaystyle 3 \sqrt{2}$ $\displaystyle \sqrt{15}$ $\alpha$ $\alpha$ $\beta$

그림과 같이 $\angle \mathrm{CBD} = \alpha$, $\angle \mathrm{DBA} = \beta$라 하고 점 $\mathrm{A}$에서 직선 $l$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 점 $\mathrm{A}$에서 직선 $l$까지의 거리는 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AH}}} = \sqrt{21} \sin \left( 2 \alpha + \beta \right)$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{CD}}} = \mathit{x}$라 하면 $\displaystyle 15 - x ^{2} = 21 - \left( 3 \sqrt{2} - x \right) ^{2}$ $\displaystyle x = \sqrt{2}$ $\sin 2 \alpha = \sin \left( \alpha + \alpha \right)$$\displaystyle = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{15}} \times \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{15}} = \frac{2 \sqrt{26}}{15}$ $\cos 2 \alpha = \cos \left( \alpha + \alpha \right)$$\displaystyle = 1 - 2 \sin ^{2} \alpha = 1 - 2 \times \frac{2}{15} = \frac{11}{15}$ $\displaystyle \sin \beta = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{21}}$, $\displaystyle \cos \beta = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{21}}$ $\displaystyle \sqrt{21} \sin \left( 2 \alpha + \beta \right)$ $\displaystyle = \sqrt{21} \times \left( \frac{2 \sqrt{26}}{15} \times \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{21}} + \frac{11}{15} \times \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{21}} \right)$ $\displaystyle = \frac{16}{5} \sqrt{2}$ $\therefore$ $p = 5$, $q = 16$ 따라서 $p + q = 21$