원의 정사영 최댓값

[출제의도] 수학내적 문제해결능력-공간도형과 공간벡터

평면 $\alpha$는 점 $A ( 1 , 0 , 0 )$을 지나고 $xy$평면에 수직이므로 0이 아닌 실수 $a$에 대하여 평면 $\alpha$의 법선벡터를 $( a , 1 , 0 )$이라 하면 평면 $\alpha$의 방정식은 $a ( x - 1 ) + y = 0$, $ax + y - a = 0$이다. 구의 중심 $( 1 , 2 , 0 )$에서 평면 $\alpha$까지의 거리를 $d$라 하면 $\displaystyle d = \frac{\left| a + 2 + 0 - a \right|}{\sqrt{a ^{2} + 1}} = \frac{2}{\sqrt{a ^{2} + 1}}$ 따라서 원 $C$의 반지름의 길이가 $\displaystyle \sqrt{2 ^{2} - \frac{4}{a ^{2} + 1}} = \sqrt{\frac{4 a ^{2}}{a ^{2} + 1}}$ 이므로 원 $C$의 넓이는 $\displaystyle \frac{4 a ^{2}}{a ^{2} + 1} \pi$ 평면 $2 y - 4 z + 13 = 0$의 법선벡터가 $( 0 , 2 , - 4 )$이므로 평면 $\alpha$와 평면 $2 y - 4 z + 13 = 0$이 이루는 각의 크기를 $\displaystyle \theta \left( 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} \right)$ 라 하면 $\displaystyle \cos \theta = \frac{2}{\sqrt{a ^{2} + 1} \sqrt{4 + 16}} = \frac{1}{\sqrt{5} \sqrt{a ^{2} + 1}}$ 따라서 원 $C$의 평면 $2 y - 4 z + 13 = 0$ 위로의 정사영의 넓이를 $S ( a )$라 하면 $\displaystyle S ( a ) = \frac{4 a ^{2}}{a ^{2} + 1} \pi \times \frac{1}{\sqrt{5} \sqrt{a ^{2} + 1}}$ 이때 $a ^{2} = t ( t > 0 )$이라 하면 $\displaystyle S ( a ) = \frac{4 \pi t}{\sqrt{5} \sqrt{( t + 1 ) ^{3}}}$ $\displaystyle T ( t ) = \frac{4 \pi t}{\sqrt{5} \sqrt{( t + 1 ) ^{3}}}$라 하면 $\displaystyle T' ( t ) = \frac{4 \pi}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{( t + 1 ) ^{3}} - t \times \frac{3}{2} \sqrt{t + 1}}{( t + 1 ) ^{3}}$ $\displaystyle = \frac{4 \pi}{\sqrt{5}} \times \frac{t + 1 - \frac{3}{2} t}{( t + 1 ) ^{2} \sqrt{t + 1}}$ $\displaystyle = \frac{2 \pi}{\sqrt{5}} \times \frac{2 - t}{( t + 1 ) ^{2} \sqrt{t + 1}}$ $T' ( t ) = 0$ 에서 $t = a ^{2} = 2$이고 이때 $S ( a )$는 최대이다. 따라서 구하는 넓이의 최댓값은 $\displaystyle \frac{8}{3} \pi \times \frac{1}{\sqrt{5} \sqrt{3}} = \frac{8 \sqrt{15}}{45} \pi$