원시함수 최솟값

$\displaystyle f \left( x \right) = {\begin{cases} \left( k + x \right) e ^{- x} & & \left( x < 0 \right) \\ \left( k - x \right) e ^{- x} & & \left( x \geq 0 \right) \end{cases}}$이고 $\displaystyle F \left( x \right) = \int _{} ^{} {f \left( x \right) dx}$이므로 $\displaystyle F \left( x \right) = {\begin{cases} - \left( x + k + 1 \right) e ^{- x} + C _{1} & & \left( x < 0 \right) \\ \left( x - k + 1 \right) e ^{- x} + C _{2} & & \left( x \geq 0 \right) \end{cases}}$ 함수 $F \left( x \right)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 $x = 0$에서 연속이다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {F \left( x \right)} = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {F \left( x \right)}$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {F \left( x \right)}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {\left\{ - \left( x + k + 1 \right) e ^{- x} + C _{1} \right\}}$ $= - k - 1 + C _{1}$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {F \left( x \right)}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {\left\{ \left( x - k + 1 \right) e ^{- x} + C _{2} \right\}}$ $= - k + 1 + C _{2}$ $- k - 1 + C _{1} = - k + 1 + C _{2}$이므로 $C _{2} = C _{1} - 2$ (ⅰ) $x < 0$일 때 $F \left( x \right) \geq f \left( x \right)$이므로 $- \left( x + k + 1 \right) e ^{- x} + C _{1} \geq \left( k + x \right) e ^{- x}$ $\left( 2 x + 2 k + 1 \right) e ^{- x} \leq C _{1}$ $h _{1} \left( x \right) = \left( 2 x + 2 k + 1 \right) e ^{- x}$라 하면 $h _{1}' \left( x \right) = - \left( 2 x + 2 k - 1 \right) e ^{- x}$ $h _{1}' \left( x \right) = 0$에서 $\displaystyle x = - \frac{2 k - 1}{2}$ (a) $\displaystyle k \leq \frac{1}{2}$일 때 $x < 0$일 때 $h _{1}' \left( x \right) > 0$이므로 함수 $h _{1} \left( x \right)$는 증가한다. $x < 0$일 때 부등식 $h _{1} \left( x \right) \leq C _{1}$이 성립하므로 $h _{1} \left( 0 \right) \leq C _{1}$, $C _{1} \geq 2 k + 1$ (b) $\displaystyle k > \frac{1}{2}$일 때 $x < 0$일 때 함수 $h _{1} \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

$x < 0$일 때 부등식 $h _{1} \left( x \right) \leq C _{1}$이 성립하므로 $\displaystyle h _{1} \left( - \frac{2 k - 1}{2} \right) \leq C _{1}$, $\displaystyle C _{1} \geq 2 e ^{\frac{2 k - 1}{2}}$ (a), (b)에서 $\displaystyle k \leq \frac{1}{2}$일 때 $C _{1} \geq 2 k + 1$, $\displaystyle k > \frac{1}{2}$일 때 $\displaystyle C _{1} \geq 2 e ^{\frac{2 k - 1}{2}}$이다. (ⅱ) $x \geq 0$일 때 $F \left( x \right) \geq f \left( x \right)$이므로 $\left( x - k + 1 \right) e ^{- x} + C _{2} \geq \left( k - x \right) e ^{- x}$ $\left( 2 k - 2 x - 1 \right) e ^{- x} \leq C _{2}$ $h _{2} \left( x \right) = \left( 2 k - 2 x - 1 \right) e ^{- x}$라 하면 $h _{2}' \left( x \right) = \left( 2 x - 2 k - 1 \right) e ^{- x}$ $h _{2}' \left( x \right) = 0$에서 $\displaystyle x = \frac{2 k + 1}{2}$ $x \geq 0$일 때 함수 $h _{2} \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

$\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {h _{2} \left( x \right)} = \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\left( 2 k - 2 x - 1 \right) e ^{- x}} = 0$이고, $h _{2} \left( 0 \right) = 2 k - 1$이다. (a) $\displaystyle k \leq \frac{1}{2}$일 때 $x \geq 0$에서 부등식 $h _{2} \left( x \right) \leq C _{2}$가 성립하므로 $C _{2} \geq 0$ $C _{2} = C _{1} - 2$이므로 $C _{1} \geq 2$ (b) $\displaystyle k > \frac{1}{2}$일 때 $x \geq 0$일 때 부등식 $h _{2} \left( x \right) \leq C _{2}$가 성립하므로 $C _{2} \geq 2 k - 1$ $C _{2} = C _{1} - 2$이므로 $C _{1} \geq 2 k + 1$ (a), (b)에서 $\displaystyle k \leq \frac{1}{2}$이면 $C _{1} \geq 2$, $\displaystyle k > \frac{1}{2}$이면 $C _{1} \geq 2 k + 1$이다. (ⅰ), (ⅱ)에서 $\displaystyle k \leq \frac{1}{2}$일 때 $C _{1} \geq 2$, $\displaystyle k > \frac{1}{2}$일 때 $\displaystyle C _{1} \geq 2 e ^{\frac{2 k - 1}{2}}$이다. $F \left( 0 \right) = - k - 1 + C _{1}$이므로 $\displaystyle k \leq \frac{1}{2}$일 때 $F \left( 0 \right) \geq - k + 1$, $\displaystyle k > \frac{1}{2}$일 때 $\displaystyle F \left( 0 \right) \geq - k - 1 + 2 e ^{\frac{2 k - 1}{2}}$이다. $\displaystyle g \left( k \right) = {\begin{cases} - k + 1 & & \left( k \leq \frac{1}{2} \right) \\ - k - 1 + 2 e ^{\frac{2 k - 1}{2}} & & \left( k > \frac{1}{2} \right) \end{cases}}$ $\displaystyle g \left( \frac{1}{4} \right) + g \left( \frac{3}{2} \right) = \frac{3}{4} + \left( 2 e - \frac{5}{2} \right) = 2 e - \frac{7}{4}$ 따라서 $p = 2$, $\displaystyle q = - \frac{7}{4}$이므로 $100 \left( p + q \right) = 25$