미적분Ⅰ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원뿔 포물선 단면

문제

[13∼14] 반지름의 길이가 11, 중심이 O\mathrm{O}인 원을 밑면으로 하고 높이가 22\displaystyle 2 \sqrt{2}인 원뿔이 평면 α\alpha 위에 놓여있다. 1313번과 1414번의 두 물음에 답하시오. (단, 원뿔의 한 모선이 평면 α\alpha에 포함된다.)

그림과 같이 원뿔을 평면 α\alpha와 평행하고 원뿔의 밑면의 중심 O\mathrm{O}를 지나는 평면으로 자를 때 생기는 단면의 일부분은 포물선이다. 이때 단면의 넓이는? [4점]

①138\displaystyle \frac{13}{8}②74\displaystyle \frac{7}{4}③158\displaystyle \frac{15}{8}④22⑤178\displaystyle \frac{17}{8}

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④

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해설

[출제의도] 정적분을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

삼각형 ABC\mathrm{ABC}에 대하여 BC‾=3\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} = 3이고 BC‾\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}󰁚DO‾\displaystyle \overline{\mathrm{DO}}, OA‾=OC‾\displaystyle \overline{\mathrm{OA}} = \overline{\mathrm{OC}}이므로 삼각형의 중점연결정리에 의하여 DO‾=12BC‾=32\displaystyle \overline{\mathrm{DO}} = \frac{1}{2} \overline{\mathrm{BC}} = \frac{3}{2} 좌표평면에 포물선을 나타내면

이 포물선은 (0,32)\displaystyle \left( 0 , \frac{3}{2} \right)을 꼭짓점으로 하고 (1,0)\left( 1 , 0 \right)을 지나므로, 포물선의 방정식은 y=−32x2+32\displaystyle y = - \frac{3}{2} x ^{2} + \frac{3}{2} 따라서 구하고자 하는 단면의 넓이는 S=∫−11(−32x2+32)dx=2\displaystyle S = \int _{- 1} ^{1} {\left( - \frac{3}{2} x ^{2} + \frac{3}{2} \right) dx = 2}

태그

#포물선#넓이

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