원점을 지나는 원의 반지름의 최대

두 원이 서로 다른 두 점에서 만나므로 중심 사이의 거리에 대하여 $5 - 4 < a < 5 + 4$, 즉 $1 < a < 9$ 두 원의 방정식을 각각 $x ^{2} + y ^{2} - 25 = 0$, $x ^{2} + y ^{2} - 2 ax + a ^{2} - 16 = 0$ 으로 놓으면 두 교점을 지나는 원의 방정식은 $\left( x ^{2} + y ^{2} - 25 \right) + k \left( x ^{2} + y ^{2} - 2 ax + a ^{2} - 16 \right) = 0$ (단, $k \ne - 1$) 이 원이 원점을 지나므로 $x = 0$, $y = 0$을 대입하면 $- 25 + k \left( a ^{2} - 16 \right) = 0$에서 $\displaystyle k = \frac{25}{a ^{2} - 16}$ 이때 $\displaystyle \frac{k}{1 + k} = \frac{25}{a ^{2} - 16 + 25} = \frac{25}{a ^{2} + 9}$ 양변을 $1 + k$로 나누어 정리하면 $\displaystyle x ^{2} + y ^{2} - \frac{2 ak}{1 + k} x = 0$ 즉 중심은 $\displaystyle \left( \frac{25 a}{a ^{2} + 9} , 0 \right)$이고 이 원은 원점을 지나므로 반지름의 길이는 $\displaystyle r = \frac{25 a}{a ^{2} + 9} = \frac{25}{a + \frac{9}{a}}$ $a > 0$이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 $\displaystyle a + \frac{9}{a} \geq 2 \sqrt{a \times \frac{9}{a}} = 6$ (등호는 $\displaystyle a = \frac{9}{a}$, 즉 $a = 3$일 때 성립) 분모가 최소일 때 $r$가 최대이고 $a = 3$은 $1 < a < 9$를 만족시킨다. 따라서 $a = 3$