원점 접선 기울기 곱

[출제의도] 접선의 방정식을 이용하여 문제를 해결한다. $f ( x ) = x \left( x - a \right) \left( x - 6 \right)$이라 하자. $f ( 0 ) = 0$이므로 원점은 곡선 $y = f ( x )$ 위의 점이고 원점에서 접하는 접선의 기울기는 $f' ( 0 )$이다. 원점이 아닌 점 $\left( t , f ( t ) \right)$에서의 접선의 방정식은 $y - f ( t ) = f' ( t ) \left( x - t \right)$ 이고 이 직선이 원점을 지나므로 $0 - f ( t ) = f' ( t ) \left( 0 - t \right)$ $tf' ( t ) - f ( t ) = 0$ $\cdots \cdots$　㉠ $f ( x ) = x ^{3} - \left( a + 6 \right) x ^{2} + 6 ax$에서 $f' ( x ) = 3 x ^{2} - 2 \left( a + 6 \right) x + 6 a$ 이므로 ㉠에서 $t \left\{ 3 t ^{2} - 2 \left( a + 6 \right) t + 6 a \right\} - \left\{ t ^{3} - \left( a + 6 ) t ^{2} + 6 at \right\} = 0 \right.$ $2 t ^{3} - \left( a + 6 \right) t ^{2} = 0$, $t ^{2} \left\{ 2 t - \left( a + 6 \right) \right\} = 0$ $t \ne 0$이므로 $\displaystyle t = \frac{a + 6}{2}$이다. $f' ( 0 ) = 6 a$, $\displaystyle f' \left( \frac{a + 6}{2} \right)$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{1}{4} \left( a ^{2} - 12 a + 36 \right)$ 이므로 $0 < a < 6$인 실수 $a$에 대하여 두 접선의 기울기의 곱을 $g ( a )$라 하면 $g ( a )$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{3}{2} \left( a ^{3} - 12 a ^{2} + 36 a \right)$ $g' ( a )$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{3}{2} \left( 3 a ^{2} - 24 a + 36 \right)$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{9}{2} \left( a - 2 \right) \left( a - 6 \right)$ $0 < a < 6$이므로 $g' ( a ) = 0$에서 $a = 2$ $0 < a < 6$에서 함수 $g ( a )$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

함수 $g ( a )$는 $a = 2$일 때 극소이면서 최소가 된다. 따라서 $0 < a < 6$에서 함수 $g ( a )$의 최솟값은 $g ( 2 ) = \mathit{-} 48$이다.