원점 거리 역수 합 빈칸

[출제의도] 이차함수와 직선의 위치관계를 이용하여 추론하기 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$의 $x$좌표를 각각 $\alpha$, $\beta$$\left( \alpha < 0 < \beta \right)$라 하면 $\alpha$, $\beta$는 이차방정식 $\displaystyle - \frac{x ^{2}}{2} + k = mx$의 근이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 $\alpha + \beta = - 2 m$, $\alpha \beta = - 2 k$ 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$는 직선 $y = mx$위의 점이므로 $\mathrm{A} \mathit{(} \alpha , m \alpha )$, $\mathrm{B} \mathit{(} \beta , m \beta )$ $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}} = - \alpha \times \square \sqrt{1 + m ^{2}}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{OB}} = \beta \times \square \sqrt{1 + m ^{2}}$ $\displaystyle \frac{1}{{\overline{\mathrm{OA}}}} + \frac{1}{{\overline{\mathrm{OB}}}}$ $\displaystyle = \frac{1}{- \alpha \times \square \sqrt{1 + m ^{2}}} + \frac{1}{\beta \times \square \sqrt{1 + m ^{2}}}$ $\displaystyle = \frac{\alpha - \beta}{\alpha \beta \times \square \sqrt{1 + m ^{2}}}$ $\displaystyle = \frac{- \sqrt{4 m ^{2} + {\square {8 k}}}}{- 2 k \times {\square {\sqrt{1 + m ^{2}}}}}$ 실수 $m$의 값에 관계없이 $\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\overline{OA}}} + \frac{1}{\mathrm{\overline{OB}}}$이 갖는 일정한 값을 $t$라 하자. $\displaystyle t ^{2} = \frac{4 m ^{2} + {\square {8 k}}}{\left( 2 k \times {\square {\sqrt{1 + m ^{2}}}} \right) ^{2}}$이므로 이를 정리하면 $4 \left( 1 - k ^{2} t ^{2} \right) m ^{2} + 4 \left( 2 k - k ^{2} t ^{2} \right) = 0$$\cdots \cdots \text{㉠}$ 따라서 $\text{㉠}$이 $m$에 대한 항등식이므로 $\displaystyle k = {\square {\frac{1}{2}}}$이다. 이때 $\displaystyle \frac{1}{{\overline{\mathrm{OA}}}} + \frac{1}{{\overline{\mathrm{OB}}}} = \frac{1}{k}$이다.

$\displaystyle f \left( m \right) = \sqrt{1 + m ^{2}}$, $g \left( k \right) = 8 k$, $\displaystyle p = \frac{1}{2}$ 이므로 $\displaystyle f \left( p \right) \times g \left( p \right) = \sqrt{1 + \left( \frac{1}{2} \right) ^{2}} \times 4 = 2 \sqrt{5}$