원점 대칭이동한 그래프와 실근의 개수

실마리: 원점에 대한 대칭이동에서 $g ( x ) = - f ( - x )$이므로 주어진 방정식은 $f ( x ) + f ( - x ) = k$ 꼴로 바뀐다. $y = f ( x )$의 그래프를 원점에 대하여 대칭이동한 그래프의 식은 $- y = f ( - x )$, 즉 $y = - f ( - x )$이므로 $g ( x ) = - f ( - x )$ 방정식 $f ( x ) = g ( x ) + k$는 $f ( x ) + f ( - x ) = k$와 같다. $h ( x ) = f ( x ) + f ( - x )$라 하면 $h ( - x ) = h ( x )$이므로 $y = h ( x )$의 그래프는 $y$축에 대하여 대칭이다. 그림에서 $f ( - 4 ) = - 2$, $f ( - 2 ) = 3$, $f ( 0 ) = 1$, $f ( 2 ) = 0$, $f ( 4 ) = - 2$이고 $f$는 각 구간에서 일차함수이므로 $h$도 각 구간에서 일차함수이다. $h ( 0 ) = 2 f ( 0 ) = 2$ $h ( 2 ) = f ( 2 ) + f ( - 2 ) = 0 + 3 = 3$ $h ( 4 ) = f ( 4 ) + f ( - 4 ) = - 2 - 2 = - 4$ 즉 $y = h ( x )$의 그래프는 $x = 0$에서 $2$, $x = \pm 2$에서 $3$, $x = \pm 4$에서 $- 4$를 지나는 꺾은선이고 $y$축에 대하여 대칭이다. 이 그래프와 직선 $y = k$의 교점의 개수는 $k > 3$일 때 $0$, $k = 3$일 때 $2$, $2 < k < 3$일 때 $4$, $k = 2$일 때 $3$, $- 4 \leq k < 2$일 때 $2$, $k \leftarrow 4$일 때 $0$이다. 따라서 실근의 개수가 $3$이 되도록 하는 $k$의 값은 $2$이다.