원이 되는 정수 조건의 개수 맞추기

먼저 반지름의 제곱을 $t$ 에 대한 이차식으로 정리한다. 주어진 방정식을 변형하면 $\left( x - t \right) ^{2} + \left( y - t \right) ^{2} = 2 t ^{2} - 4 t ^{2} + 8 t - m$ 원을 나타내려면 $- 2 t ^{2} + 8 t - m > 0$ 이어야 하므로 $2 t ^{2} - 8 t + m < 0$ $f ( t ) = 2 t ^{2} - 8 t + m$ 이라 하면 $f ( t ) = 2 \left( t - 2 \right) ^{2} + m - 8$ 이므로 부등식 $f ( t ) < 0$ 의 해는 $t = 2$ 에 대하여 대칭인 구간이다. 따라서 이 구간에 속하는 정수의 개수가 $3$ 이 되려면 그 정수는 $1$, $2$, $3$ 이어야 하므로 $f ( 1 ) < 0$ 이고 $f ( 0 ) \geq 0$ 이어야 한다. $f ( 1 ) = m - 6 < 0$ 에서 $m < 6$ $f ( 0 ) = m \geq 0$ 은 모든 자연수 $m$ 에 대하여 성립한다. 따라서 자연수 $m$ 은 $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ 이고 그 합은 $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$