공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원형 트랙 속력 행렬

문제

반지름의 길이가 $5 \mathrm{km}$ 인 원형의 자동차 트랙을 각각 일정한 속력으로 주행하는 두 대의 자동차가 있다. 두 자동차는 같은 지점에서 동시에 출발하여 서로 반대 방향으로 주행하면 $20$ 분 후에 처음으로 만나고, 같은 방향으로 주행하면 $1$ 시간 $40$ 분 후에 처음으로 만난다. 두 자동차의 속력 $x \mathrm{(} km$ /시 $)$ , $y \mathrm{(} km$ /시 $)$ 의 값을 구하는 식을 행렬로 나타내면 $\displaystyle \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \end{array} \right) = 3 \pi \begin{pmatrix} 5 & a \\ 5 & b \end{pmatrix} \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \end{array} \right)$ 이다. 이때, $\left| a - b \right|$ 의 값은? (단, 자동차의 크기와 트랙의 폭은 고려하지 않는다.) [4점] ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$

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②

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해설

[출제의도] 행렬을 이용한 실생활문제 해결하기 자동차의 속력을 $x$ , $y$ ( $x > y$ )라 할 때, $\displaystyle \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} y = 10 \pi , \frac{5}{3} x - \frac{5}{3} y = 10 \pi$ 이므로 $\displaystyle {\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 5 & - 5 \end{pmatrix}} \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 30 \pi \\ 30 \pi \end{matrix} \end{array} \right)$ , $\displaystyle \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \end{array} \right) = 3 \pi {\begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 5 & - 1 \end{pmatrix}} \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \end{array} \right)$ $\therefore$ $a = 1$ , $b = - 1$ 이므로 $\left| a - b \right| = 2$

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