원과 타원 교점

[출제의도] 타원의 정의를 이용하여 선분의 길이를 구한다. $x ^{2} + ( y - 3 ) ^{2} = 5 ^{2}$에서 $y = 0$일 때, $x = 4$ 또는 $x = - 4$ 따라서 원이 $x$축과 만나는 두 점의 좌표는 각각 ${\mathrm{A}} ( - 4 , 0 )$, ${\mathrm{B}} ( 4 , 0 )$으로 놓을 수 있다. 그런데 이 두 점은 타원의 초점이고 점 $\mathrm{P}$는 타원 위의 점이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} + \overline{BP} = 10$ … ㉠ 삼각형 $\mathrm{A} PB$에서 $\mathrm{\angle} APB = \theta$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} ^{2} + {\overline{BP}} ^{2} - 2 \times \overline{AP} \times \overline{BP} \times \cos \theta = 8 ^{2}$ … ㉡ 각 $\mathrm{\angle} APB$는 호 $\mathrm{A} B$의 원주각이고, 원의 중심을 $\mathrm{C} ( 0 , 3 )$이라 하면 각 $\mathrm{\angle} ACB$는 호 $\mathrm{A} B$의 중심각이다. 따라서 $\mathrm{\angle} ACB = 2 \theta$에서 $\mathrm{\angle} OCA =$$\mathrm{\angle} APB$$= \theta$ 이때 $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = 5$, $\displaystyle \mathrm{\overline{OC}} = 3$이므로 $\displaystyle \cos \theta = \frac{3}{5}$　… ㉢ ㉠, ㉡, ㉢에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} \times \overline{BP} = \frac{45}{4}$