원과 쌍곡선 직사각형

원 $x ^{2} + y ^{2} = n ^{2}$과 곡선 $\displaystyle y = \frac{k}{x}$의 제1사분면의 두 교점을 $\displaystyle P ( a , \frac{k}{a} ) , Q ( \frac{k}{a} , a ) ( a > \frac{k}{a} )$ 라 하고 $PQ$의 중점을 $\displaystyle M ( \frac{a + \frac{k}{a}}{2} , \frac{a + \frac{k}{a}}{2} )$라 하자. 두 점 $P , Q$는 원 위의 점이므로 $\displaystyle a ^{2} + \left( \frac{k}{a} \right) ^{2} = n ^{2} \cdots \text{①}$ 직사각형의 긴변이 짧은 변의 2배이면 $\displaystyle \overline{PQ} = \overline{OM}$ 이 성립한다 $\displaystyle \sqrt{2} ( a - \frac{k}{a} ) = \sqrt{2} ( \frac{a + \frac{k}{a}}{2} )$ 정리하면 $a ^{2} = 3 k$ $\cdots \text{ ②}$ ②를 ①에 대입하면 $\displaystyle 3 k + \frac{k}{3} = n ^{2}$ $\displaystyle k = \frac{3 n ^{2}}{10}$ $\displaystyle \therefore f ( n ) = \frac{3}{10} n ^{2}$ $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{12} f ( n )$$\displaystyle = \frac{3}{10} \times \frac{12 \times 13 \times 25}{6} = 195$