기하이차곡선수능 기출기본 문제 (3점 중반)

원과 쌍곡선

문제

원 x2+y2=8x ^{2} + y ^{2} = 8과 쌍곡선 x2a2−y2b2=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1이 서로 다른 네 점에서 만나고 이 네 점은 원의 둘레를 44등분한다. 이 쌍곡선의 한 점근선의 방정식이 y=2x\displaystyle y = \sqrt{2} x일 때, a2+b2a ^{2} + b ^{2}의 값은? (단, aa, bb는 상수이다.) [3점] ①44②55③66④77⑤88

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③

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해설

[출제의도] 쌍곡선의 성질 이해하기 원 x2+y2=8x ^{2} + y ^{2} = 8과 쌍곡선 x2a2−y2b2=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1이 만나는 네 점이 원의 둘레를 44등분하므로 쌍곡선이 점 (2,2)( 2 , 2 )를 지난다. 4a2−4b2=1\displaystyle \frac{4}{a ^{2}} - \frac{4}{b ^{2}} = 1 … ㉠ 쌍곡선의 한 점근선의 방정식이 y=2x\displaystyle y = \sqrt{2} x이므로 b=2a\displaystyle b = \sqrt{2} a … ㉡ 따라서 ㉠, ㉡에 의하여 a2+b2=6a ^{2} + b ^{2} = 6

태그

#쌍곡선#점근선

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