원과 삼각형 넓이의 최댓값

주어진 그림에서 $\displaystyle {{\mathrm{\overline{AD}}} : {\mathrm{\overline{DB}}} = 3 : 2}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}} = \mathit{3} t$ $\left( t > 0 \right)$이라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{DB}} = \mathit{2} t$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \mathit{5} t$ 이때 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 반지름의 길이가 $7$이므로 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{BC}}}{\sin A} = \frac{\overline{\mathrm{AB}}}{\sin C} = 14$, $\displaystyle \sin A : \sin C = {\overline{\mathrm{BC}}} : {\overline{\mathrm{AB}}}$ $\sin A : \sin C = 8 : 5$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} : {\overline{\mathrm{AB}}} = 8 : 5$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} = \mathit{8} t$ 두 삼각형 $\mathrm{ADE}$, $\mathrm{ABC}$의 넓이의 비가 $9 : 35$이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 3 t \times {\overline{\mathrm{AE}}} \mathit{\times} \sin A : \frac{1}{2} \times 5 t \times {\overline{\mathrm{AC}}} \times \sin A = 9 : 35$ $\displaystyle 3 \overline{\mathrm{AE}} : 5 \overline{\mathrm{AC}} = 9 : 35$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AE}} = \frac{3}{7} \overline{\mathrm{AC}}$ 즉 $\displaystyle {{\mathrm{\overline{AE}}} : {\mathrm{\overline{AC}}} = 3 : 7}$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}} = \overline{\mathrm{AE}}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AE}} = \mathit{3} t$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}} = \mathit{7} t$ 라 할 수 있다. 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \cos \left( \mathrm{\angle} ABC \right) \mathit{=} \frac{\left( 5 t \right) ^{2} + \left( 8 t \right) ^{2} - \left( 7 t \right) ^{2}}{2 \times 5 t \times 8 t} = \frac{40 t ^{2}}{80 t ^{2}} = \frac{1}{2}$ $\therefore$ $\angle \mathrm{ABC} \mathit{=} 60 ^\circ$

삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 반지름의 길이가 $7$이므로 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{AC}}}{\sin \left( \mathrm{\angle} ABC \right)} = 14$, $\displaystyle 7 t = 14 \times \sin 60 ^\circ = 7 \sqrt{3}$ 즉 $\displaystyle t = \sqrt{3}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} = \mathit{8} t = 8 \sqrt{3}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}} = \overline{\mathrm{AE}} = 3 \sqrt{3}$ 이때 점 $\mathrm{A}$에서 변 $\mathrm{BC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AH}} = \overline{\mathrm{AB}} \times \sin 60 ^\circ = 5 \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15}{2}$ 따라서 원 $O$ 위의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 삼각형 $\mathrm{PBC}$의 넓이의 최댓값은 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \left( \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{AH}} \right) \times {\overline{BC}}$$\displaystyle \leq \frac{1}{2} \times \left( 3 \sqrt{3} + \frac{15}{2} \right) \times 8 \sqrt{3}$ $\displaystyle = 36 + 30 \sqrt{3}$