원과 삼차함수 격자점

[출제의도] 도함수를 활용하여 추론하기 $f' \left( x \right) = k \left( x + 1 \right) \left( x - 1 \right) = k \left( x ^{2} - 1 \right)$($k > 0$)라 하면 $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{k}{3} x ^{3} - kx + C _{0}$(단, $C _{0}$은 적분상수) 함수 $f \left( x \right)$의 극대인 점 $\left( - 1 , f \left( - 1 \right) \right)$과 극소인 점 $\left( 1 , f \left( 1 \right) \right)$이 원 $C$ 위에 있으므로 두 점은 원점에 대하여 대칭이다. $f \left( - 1 \right) = \mathit{-} f \left( 1 \right)$, $C _{0} = 0$ 따라서 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다. 점 $\left( - 1 , f \left( - 1 \right) \right)$이 원 $C$ 위에 있으므로 $\left( - 1 \right) ^{2} + y ^{2} = n$, $\displaystyle y = \sqrt{n - 1}$ $\displaystyle f \left( - 1 \right) = \frac{k}{3} \left( - 1 \right) ^{3} - k \times \left( - 1 \right) = \frac{2}{3} k = \sqrt{n - 1}$ 이므로 $\displaystyle k = \frac{3}{2} \sqrt{n - 1}$ 따라서 $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{1}{2} \sqrt{n - 1} \left( x ^{3} - 3 x \right)$ 원 $C$와 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프는 원점에 대하여 대칭이므로 영역 $S _{2}$와 영역 $S _{3}$ 내부에 있는 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점의 개수는 같다. 따라서 $g _{2} \left( n \right) = g _{3} \left( n \right)$ $3$보다 큰 자연수 $n$에 대하여 $x = \mathit{-} 2$에서 원 $C$는 점 $\displaystyle \left( - 2 , \sqrt{n - 4} \right)$와 점 $\displaystyle \left( - 2 , - \sqrt{n - 4} \right)$를 지나고 $\displaystyle f \left( - 2 \right) = \frac{1}{2} \sqrt{n - 1} \left( - 8 + 6 \right) = \mathit{-} \sqrt{n - 1}$이므로 $\displaystyle - \sqrt{n - 4} > \mathit{-} \sqrt{n - 1}$ 그러므로 점 $\left( - 2 , f ( - 2 ) \right)$는 원 $C$ 외부의 점이다. (ⅰ) $n = 4$일 때 영역 $S _{1}$에는 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점은 존재하지 않고, 영역 $S _{2}$에는 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점은 $x = \mathit{-} 1$과 $x = 0$ 위에 존재한다. $g _{1} \left( 4 \right) = 0$, $g _{2} \left( 4 \right) = 3 + 1 = 4$ (ⅱ) $5 \leq n \leq 9$일 때 영역 $S _{1}$에는 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점은 $x = \mathit{-} 2$ 위에 존재하고, 영역 $S _{2}$에는 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점은 $x = \mathit{-} 1$과 $x = 0$ 위에 존재한다. $g _{1} \left( 5 \right) = 1$, $g _{2} \left( 5 \right) = 3 + 2 = 5$ $n = 6$, $7$, $8$에서 $g _{1} \left( n \right) = 3$, $g _{2} \left( n \right) = 5 + 2 = 7$ $g _{1} \left( 9 \right) = 5$, $g _{2} \left( 9 \right) = 5 + 2 = 7$ (ⅲ) $10 \leq n \leq 16$일 때 영역 $S _{1}$에는 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점은 $x = \mathit{-} 3$과 $x = \mathit{-} 2$ 위에 존재하고, 영역 $S _{2}$에는 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점은 $x = \mathit{-} 1$과 $x = 0$ 위에 존재한다. $g _{1} \left( 10 \right) = 1 + 5 = 6$, $g _{2} \left( 10 \right) = 5 + 3 = 8$ $n = 11$, $12$, $13$에서 $g _{1} \left( n \right) = 3 + 5 = 8$, $g _{2} \left( n \right) = 7 + 3 = 10$ $n = 14$, $15$, $16$에서 $g _{1} \left( n \right) = 5 + 7 = 12$, $g _{2} \left( n \right) = 7 + 3 = 10$

$y = f ( x )$

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 $g _{1} \left( n \right) > g _{3} \left( n \right)$을 만족하는 자연수 $n$의 최솟값은 $14$ 따라서 $a + \left\{ g _{1} \left( a \right) \times g _{3} \left( a \right) \right\} = 14 + \left\{ g _{1} \left( 14 \right) \times g _{3} \left( 14 \right) \right\} = 134$