대수지수함수와 로그함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원과 로그곡선의 교점

문제

좌표평면 위의 두 점 A(−1,0)\mathrm{A} \left( - 1 , 0 \right), B(1,0)\mathrm{B} \left( 1 , 0 \right)에 대하여 선분 AB\mathrm{AB}를 지름으로 하는 원 CC가 있다. a>1a > 1인 실수 aa에 대하여 함수 y=log⁡axy = \log _{a} x의 그래프와 원 CC가 만나는 두 점 중에서 B\mathrm{B}가 아닌 점을 P\mathrm{P}라 하자. AP‾=3\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} = \sqrt{3}일 때, a3\displaystyle a ^{\sqrt{3}}의 값은? [4점] ①33②44③55④66⑤77

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②

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해설

[출제의도] 삼각함수의 정의를 이용하여 로그함수문제 해결하기

y=log⁡axy = \log _{a} x π3\displaystyle \frac{\pi}{3} π6\displaystyle \frac{\pi}{6}

삼각형 APB\mathrm{APB}는 빗변의 길이가 22인 직각삼각형이고 AP‾=3\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} = \sqrt{3}이므로 ∠BAP=π6\displaystyle \mathrm{\angle} BAP = \frac{\pi}{6}이다. 원점을 O\mathrm{O}라 하면 ∠BOP=π3\displaystyle \mathrm{\angle} BOP = \frac{\pi}{3}이고, 점 P\mathrm{P}의 좌표는 (cos⁡(−π3),sin⁡(−π3))=(12,−32)\displaystyle \left( \cos \left( - \frac{\pi}{3} \right) , \sin \left( - \frac{\pi}{3} \right) \right) = \left( \frac{1}{2} , - \frac{\sqrt{3}}{2} \right)이다. 점 P\mathrm{P}는 함수 y=log⁡axy = \log _{a} x의 그래프 위의 점이므로 −32=log⁡a12\displaystyle - \frac{\sqrt{3}}{2} = \log _{a} \frac{1}{2}이다. 즉, a−32=12\displaystyle a ^{- \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{2}이므로 a32=2\displaystyle a ^{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2이다. 따라서 a3=22=4\displaystyle a ^{\sqrt{3}} = 2 ^{2} = 4이다.

태그

#로그함수#원

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