공통수학2원의 방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원과 포물선 교집합에서 최대최소

문제

두 집합 A={(x,y)∣x2+y2≤2}A = \left\{ ( x , y ) | x ^{2} + y ^{2} \leq 2 \right\}, B={(x,y)∣y≥x2}B = \left\{ ( x , y ) | y \geq x ^{2} \right\}에 대하여 (x,y)( x , y )가 A∩BA \cap B의 원소일 때, x+2yx + 2 y의 최댓값과 최솟값이 각각 MM, mm이다. M2−mM ^{2} - m의 값은? [4점] ①818\displaystyle \frac{81}{8}②414\displaystyle \frac{41}{4}③838\displaystyle \frac{83}{8}④212\displaystyle \frac{21}{2}⑤858\displaystyle \frac{85}{8}

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①

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해설

집합 A∩BA \cap B가 나타내는 영역은 다음 그림의 어두운 부분이다.

x+2y=kx + 2 y = k ⋯⋯ ㉠ 이라 하면 직선 ㉠이 그림의 어두운 부분을 지나야하므로 kk는 직선 ㉠이 원 x2+y2=2x ^{2} + y ^{2} = 2와 제11사분면에서 접할 때 최대가 되고 ㉠이 곡선 y=x2y = x ^{2}과 접할 때, 최소가 된다.

ⅰ) ㉠이 원 x2+y2=2x ^{2} + y ^{2} = 2와 제11사분면에서 접할 때 원의 중심 (0,0)( 0 , 0 )에서 직선 ㉠에 이르는 거리가 2\displaystyle \sqrt{2}이므로 ∣k∣12+22=2\displaystyle \frac{| k |}{\sqrt{1 ^{2} + 2 ^{2}}} = \sqrt{2} ∴ M=10\displaystyle M = \sqrt{10} ⅱ) ㉠이 곡선 y=x2y = x ^{2}과 접할 때 방정식 2x2+x−k=02 x ^{2} + x - k = 0은 중근을 가지므로 D=1+8k=0D = 1 + 8 k = 0 ∴ m=−18\displaystyle m = - \frac{1}{8} ⅰ), ⅱ)에서 M2−mM ^{2} - m=818\displaystyle = \frac{81}{8}

태그

#원의 방정식#접선#최대와 최소

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