미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원과 무리함수 곡선 최단거리

문제

원 x2+y2=1x ^{2} + y ^{2} = 1 위의 임의의 점 P\mathrm{P}와 곡선 y=x−3\displaystyle y = \sqrt{x} - 3 위의 임의의 점 Q\mathrm{Q}에 대하여 PQ‾\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}의 최솟값은 a−b\displaystyle \sqrt{a} - b이다. 자연수 aa, bb에 대하여 a2+b2a ^{2} + b ^{2}의 값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기 곡선 y=x−3\displaystyle y = \sqrt{x} - 3 위의 임의의 점 Q\mathrm{Q}의 좌표를 (t,t−3)\displaystyle \left( t , \sqrt{t} - 3 \right)(t≥0t \geq 0)이라 하고, 원점을 O\mathrm{O}라 하자. 선분 PQ{{\mathrm{PQ}}}의 길이가 최소가 되려면 점 Q\mathrm{Q}에 대하여 선분 OQ\mathrm{OQ}와 원 x2+y2=1x ^{2} + y ^{2} = 1이 만나는 점이 P\mathrm{P}이고, 원 x2+y2=1x ^{2} + y ^{2} = 1 위의 점 P\mathrm{P}에서의 접선의 기울기와 곡선 y=x−3\displaystyle y = \sqrt{x} - 3 위의 점 Q\mathrm{Q}에서의 접선의 기울기가 같아야 한다.

곡선 y=x−3\displaystyle y = \sqrt{x} - 3 위의 점 Q(t,t−3)\displaystyle \mathrm{Q} \mathit{\left( t , \sqrt{t} - 3 \right)}(t>0)\left( t > 0 \right) 에서의 접선과 직선 OQ\mathrm{OQ}는 수직이다. 12t×t−3t=−1\displaystyle \frac{1}{2 \sqrt{t}} \times \frac{\sqrt{t} - 3}{t} = - 1 2(t)3+t−3=0\displaystyle 2 \left( \sqrt{t} \right) ^{3} + \sqrt{t} - 3 = 0 (t−1)(2t+2t+3)=0\displaystyle \left( \sqrt{t} - 1 \right) \left( 2 t + 2 \sqrt{t} + 3 \right) = 0 t=1t = 1이므로 Q(1,−2)\mathrm{Q} ( 1 , - 2 )이다. PQ‾\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=OQ‾−1\displaystyle = \overline{\mathrm{OQ}} - 1=5−1\displaystyle = \sqrt{5} - 1 a=5a = 5, b=1b = 1이므로 a2+b2=26a ^{2} + b ^{2} = 26

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#최단거리#법선#무리함수

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