미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원과 꺾인 직선 회전체

문제

함수 y=3∣x∣\displaystyle y = \sqrt{3} | x |의 그래프와 원 x2+(y−a)2=1(a>0)x ^{2} + ( y - a ) ^{2} = 1 ( a > 0 )이 서로 접하고 있다. 아래 그림에서 어두운 영역을 yy축 둘레로 회전시켰을 때 얻어지는 입체의 부피는 qpπ\displaystyle \frac{q}{p} \pi이다. 이 때, p+qp + q의 값은? (단, p,qp , q 는 서로소인 자연수이다.) [4점]

①77②99③1111④1313⑤1414

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①

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해설

원의 중심 (0,a)( 0 , a )에서 직선 y=3x\displaystyle y = \sqrt{3} x까지의 거리가 1이기 때문에 ∴ a=2a = 2. x2+(y−2)2=1x ^{2} + ( y - 2 ) ^{2} = 1와 직선을 연립으로 풀면 ∴ y=32\displaystyle y = \frac{3}{2}. V직선=π\mathrm{V} _{\text{직선}} = \pi∫032y23dy\displaystyle \int _{0} ^{\frac{3}{2}} \frac{y ^{2}}{3} dy = 38π\displaystyle \frac{3}{8} \pi 중심을 원점으로 평행이동을 통해 부피를 구해보면 V원=π\mathrm{V} _{\text{원}} = \pi∫132(1−(y−2)2)dy\displaystyle \int _{1} ^{\frac{3}{2}} {} ( 1 - ( y - 2 ) ^{2} ) dy = π[−3y+2y2−13y3]132\displaystyle \pi \left[ - 3 y + 2 y ^{2} - \frac{1}{3} y ^{3} \right] _{1} ^{\frac{3}{2}}=524π\displaystyle \frac{5}{24} \pi ∴ V=\mathrm{V} =V직선−V원\mathrm{V} _{\text{직선}-V} {}_{\text{원}}= 16π\displaystyle \frac{1}{6} \pi ∴ p+q=7p + q = 7

태그

#회전체의 부피#원#접선

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