원과 좌표축 교점

선분 ${\mathrm{AB}}$는 $x$축 위에 있으므로 선분 ${\mathrm{AB}}$를 $1 : 4$로 내분하는 점은 $x$축 위의 점이고, 선분 ${\mathrm{CD}}$는 $y$축 위에 있으므로 선분 ${\mathrm{CD}}$의 중점은 $y$축 위의 점이다. $x$축 위에 있고 동시에 $y$축 위에 있는 점은 원점 ${\mathrm{O}}$뿐이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AO}}} : {\overline{\mathrm{BO}}} = 1 : 4$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{CO}}} = {\overline{\mathrm{DO}}}$이다. 직선 ${\mathrm{AB}}$는 선분 ${\mathrm{CD}}$의 수직이등분선이므로 선분 ${\mathrm{AB}}$는 원 $O$의 지름이다. 점 ${\mathrm{O}}$는 두 점 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$를 $1 : 4$로 내분하는 점이므로 점 ${\mathrm{A}}$의 좌표를 ${\mathrm{A}} \left( - a , 0 \right) \left( a > 0 \right)$이라 하면 점 ${\mathrm{B}}$의 좌표는 ${\mathrm{B}} \left( 4 a , 0 \right)$이다. 선분 ${\mathrm{AB}}$가 원 $O$의 지름이므로 원 $O$의 중심의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{3}{2} a , 0 \right)$이고 반지름의 길이는 $\displaystyle \frac{5}{2} a$이다. 조건 (나)에 의하여 원 $O$의 중심 $\displaystyle \left( \frac{3}{2} a , 0 \right)$과 직선 $4 x - 3 y + 13 = 0$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{5}{2} a$이다. $\displaystyle \frac{\left| 6 a + 13 \right|}{\sqrt{4 ^{2} + \left( - 3 \right) ^{2}}} = \frac{5}{2} a$, $\displaystyle \left| 6 a + 13 \right| = \frac{25}{2} a$에서 $a = 2$이므로 ${\mathrm{A}} \left( - 2 , 0 \right)$, ${\mathrm{B}} \left( 8 , 0 \right)$이고 원 $O$의 방정식은 $\left( x - 3 \right) ^{2} + y ^{2} = 25$이다. 두 점 ${\mathrm{C}}$, ${\mathrm{D}}$는 원 $O$와 $y$축과의 교점이므로 $9 + y ^{2} = 25$에서 $y = 4$ 또는 $y = - 4$ 그러므로 ${\mathrm{C}} \left( 0 , - 4 \right)$, ${\mathrm{D}} \left( 0 , 4 \right)$이다. 따라서 사각형 ${\mathrm{ACBD}}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AB}}} \times {\overline{\mathrm{CD}}} = \frac{1}{2} \times 10 \times 8 = 40$