공통수학2원의 방정식AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원과 직선의 거리와 현의 길이

문제

그림과 같이 좌표평면 위에 원 C:x2+y2=25C : x ^{2} + y ^{2} = 25와 직선 l:3x−4y−15=0l : 3 x - 4 y - 15 = 0이 있다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

<보 기> ㄱ. 원 CC와 직선 ll은 서로 다른 두 점에서 만난다. ㄴ. 원 CC가 직선 ll에서 잘리는 현의 길이는 66이다. ㄷ. 원 CC 위의 점과 직선 ll 사이의 거리의 최댓값은 88이다.

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄱ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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④

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해설

원 CC의 중심은 원점, 반지름의 길이는 55이다. 원점과 직선 ll 사이의 거리는 ∣−15∣32+(−4)2=155=3\displaystyle \frac{\left| - 15 \right|}{\sqrt{3 ^{2} + ( - 4 ) ^{2}}} = \frac{15}{5} = 3 ㄱ. 이 거리 33이 반지름의 길이 55보다 작으므로 원 CC와 직선 ll은 서로 다른 두 점에서 만난다. (참) ㄴ. 현의 길이는 252−32=2×4=8\displaystyle 2 \sqrt{5 ^{2} - 3 ^{2}} = 2 \times 4 = 8이다. (거짓) ㄷ. 원 위의 점과 직선 ll 사이의 거리는 중심과 직선 사이의 거리에 반지름의 길이를 더한 값이 가장 크므로 최댓값은 3+5=83 + 5 = 8이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ④

태그

#원과 직선#현의 길이#참거짓

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