미적분Ⅰ함수의 연속수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원과 직선 교점 함수 연속

문제

원 $x ^{2} + y ^{2} = t ^{2}$ 과 직선 $y = 1$ 이 만나는 점의 개수를 $f ( t )$ 라 하자. 함수 $( x + k ) f ( x )$ 가 구간 $( 0 , \infty )$ 에서 연속일 때, $f ( 1 ) + k$ 의 값은? (단, $k$ 는 상수이다.) [3점] ① $- 2$ ② $- 1$ ③ $0$ ④ $1$ ⑤ $2$

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③

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해설

[출제의도] 함수의 연속의 성질을 이해하여 주어진 조건의 값을 구한다. 함수 $f ( t )$ $\displaystyle = \begin{cases} 2 & ( | t | > 1 ) \\ 1 & ( | t | = 1 ) \\ 0 & ( | t | < 1 ) \end{cases}$ 이고 함수 $( x + k ) f ( x )$ 가 구간 $( 0 , \infty )$ 에서 연속이면 $x$ $= 1$ 에서 연속이다. $( 1 + k ) f ( 1 )$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1 - 0} ( x + k ) f ( x )$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1 + 0} ( x + k ) f ( x )$ $1 + k$ $= ( 1 + k ) \times 0$ $= ( 1 + k ) \times 2$ 따라서 $k$ $= - 1$ 이므로 $f ( 1 ) + k$ $= 1 - 1$ $= 0$

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