원과 현의 길이

[출제의도] 피타고라스정리와 원과 직선 사이의 관계를 이용하여 문제를 해결한다. 원 $x ^{2} + y ^{2} - 2 x - 4 y + k = 0$의 방정식을 변형하면 $( x - 1 ) ^{2} + ( y - 2 ) ^{2} = 5 - k$ 원의 중심을 $\mathrm{C} ,$ 반지름을 $r$라 하면 ${\mathrm{C} ( 1 , 2 )}$이고, $r ^{2} = 5 - k$이다. 그림과 같이 점 $\mathrm{C}$에서 선분 $\mathrm{AB}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 4$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AH}} = \overline{\mathrm{BH}} = 2$ 점 $\mathrm{C} ( 1 , 2 )$와 직선 $2 x - y + 5 = 0$ 사이의 거리는 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CH}}}$$\displaystyle = \frac{\left| 2 \times 1 - 2 + 5 \right|}{\sqrt{2 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}}}$$\displaystyle = \frac{5}{\sqrt{5}}$$\displaystyle = \sqrt{5}$ 직각삼각형 $\mathrm{CAH}$에서 $r ^{2}$$\displaystyle = \left( \sqrt{5} \right) ^{2} + 2 ^{2}$$= 5 + 4$$= 9$ $r ^{2} = 5 - k$이므로 $9 = 5 - k$ $k = \mathit{-} 4$