원과 구 최댓값

[출제의도] 공간도형의 성질을 이용하여 문제를 해결한다.

선분 $\mathrm{BP}$의 중점 $\mathrm{M}$을 지나고 직선 $\mathrm{AH}$와 평행한 직선이 선분 $\mathrm{AB}$와 만나는 점을 $\mathrm{E}$라 하자. 이때 점 $\mathrm{M}$은 원 $D$의 중심이고, 직선 $\mathrm{ME}$는 선분 $\mathrm{BP}$의 수직이등분선이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BE}} = {\overline{PE}}$이다. 이때 삼각형 $\mathrm{APB}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} = \sqrt{3} , \overline{AB} = 3$, $\mathrm{\angle} PAB = 90 ^\circ$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BP}} = \sqrt{( \sqrt{3} ) ^{2} + 3 ^{2}} = 2 \sqrt{3}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BM}} = \frac{1}{2} \overline{BP} = \sqrt{3}$ 삼각형 $\mathrm{APB}$와 삼각형 $\mathrm{MEB}$는 서로 닮음이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{ME}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \overline{BM} = 1$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BE}} = 2 \overline{ME} = 2$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{PE}} = \overline{BE} = 2$ 직선 $\mathrm{ME}$는 원 $D$의 중심 $\mathrm{M}$을 지나고 원 $D$를 포함하는 평면에 수직인 직선이므로 원 $D$ 위의 임의의 점 $\mathrm{Q}$에 대하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{QE}}$$\displaystyle = \overline{\mathrm{BE}}$$= 2$이다. 따라서 점 $\mathrm{Q}$는 점 $\mathrm{E}$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $2$인 구 위의 점이다. 이 구가 평면 $\alpha$에 의해 잘려서 생기는 두 부분 중 점 $\mathrm{B}$가 속한 부분(원 $C$ 포함)을 $S$라 하면 점 $\mathrm{P}$가 원 $C$ 위를 움직일 때 원 $D$가 나타내는 도형이 $S$이다.

원 $D$ 위의 점 $\mathrm{Q}$는 도형 $S$ 위의 점이므로 선분 $\mathrm{XQ}$의 길이는 선분 $\mathrm{XQ}$가 구의 중심 $\mathrm{E}$를 지날 때 최대이고, 최댓값은 $\displaystyle \overline{\mathrm{XE}} + \overline{\mathrm{EQ}}$$\displaystyle = \sqrt{{\overline{\mathrm{XA}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{AE}}} ^{2}} + 2$$\displaystyle = \sqrt{5 ^{2} + 1 ^{2}} + 2$$\displaystyle = 2 + \sqrt{26}$ $m = 2$, $n = 26$이므로 $m + n$$= 28$