원에 내접하는 사각형의 넓이

[출제의도] 삼각함수를 활용하여 문제해결하기 삼각형 $\mathrm{ABD}$에서 $\angle \mathrm{ADB} = \alpha$라 할 때, 삼각형 $\mathrm{ABD}$의 외접원의 반지름의 길이가 $6$이므로 $\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{AB}}}}{\sin \alpha} = 12$ $\displaystyle \sin \alpha = \frac{3 \sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{4}$이므로 $\displaystyle \cos \alpha = \sqrt{1 - \left( \frac{\sqrt{3}}{4} \right) ^{2}} = \frac{\sqrt{13}}{4}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \overline{CD}$이므로 $\angle \mathrm{ADB} = \angle \mathrm{CBD}$ 선분 $\mathrm{AD}$와 선분 $\mathrm{BC}$는 평행하므로 사각형 $\mathrm{ABCD}$는 등변사다리꼴이다.

$\alpha$

두 점 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$에서 선분 $\mathrm{AD}$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{H} _{1}$, $\mathrm{H} _{2}$라 할 때, $\displaystyle \mathrm{\overline{\mathrm{DH} _{1}}} = \overline{\mathrm{BD}} \cos \alpha$$\displaystyle = 8 \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{13}}{4}$$\displaystyle = 2 \sqrt{26}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{\mathrm{BH} _{1}}} = \overline{\mathrm{BD}} \sin \alpha$$\displaystyle = 8 \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{3}}{4}$$\displaystyle = 2 \sqrt{6}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{\mathrm{AH} _{1}}} = \mathrm{\overline{\mathrm{DH} _{2}}}$이므로 사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이 $S$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times ( {\overline{\mathrm{AD}}} + {\overline{\mathrm{BC}}} ) \times {\overline{\mathrm{BH} _{1}}}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left\{ \left( \overline{\mathrm{DH} _{1}} + \overline{\mathrm{AH} _{1}} \right) + \left( \overline{\mathrm{DH} _{1}} - \overline{\mathrm{DH} _{2}} \right) \right\} \times \overline{\mathrm{BH} _{1}}$ $\displaystyle = \overline{\mathrm{DH} _{1}} \times \overline{\mathrm{BH} _{1}}$ $\displaystyle = 2 \sqrt{26} \times 2 \sqrt{6}$$\displaystyle = 8 \sqrt{39}$ 따라서 $\displaystyle \frac{S ^{2}}{13} = 192$