원에 내접하는 사각형의 넓이

사각형 $\mathrm{ABCD}$가 원에 내접하므로 $\mathrm{\angle} BAD + \angle BCD = \pi$ $\angle \mathrm{BAD} = \theta$라 하면 삼각형 $\mathrm{BAD}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{BD}} ^{2}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{AB}} ^{2} + {\overline{AD}} ^{2} - 2 \overline{AB} \cdot \overline{AD} \cos \theta$$= 37 - 12 \cos \theta$ 삼각형 $\mathrm{BCD}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{BD}} ^{2}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{BC}} ^{2} + {\overline{CD}} ^{2} - 2 \overline{BC} \cdot \overline{CD} \cos ( \pi - \theta )$$= 25 + 24 \cos \theta$ $37 - 12 \cos \theta$$= 25 + 24 \cos \theta$에서 $\displaystyle \cos \theta = \frac{1}{3}$ ∴ $\sin \theta$$\displaystyle = \sqrt{1 - \cos ^{2} \theta}$$\displaystyle = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

∴ ($\mathrm{ABCD}$의 넓이) $=$($\triangle \mathrm{BAD}$의 넓이)+($\triangle \mathrm{BCD}$의 넓이) $\displaystyle = \frac{\mathrm{1}}{2} \overline{AB} \cdot \overline{AD} \sin \theta + \frac{1}{2} \overline{BC} \cdot \overline{CD} \sin ( \pi - \theta )$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 6 \cdot \frac{2 \sqrt{2}}{3} + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ $\displaystyle = 6 \sqrt{2}$