원에 내접하는 사각형 넓이

[출제의도] 코사인법칙을 활용하여 문제 해결하기

원의 중심을 $\mathrm{O}$라 하자. 두 삼각형 $\mathrm{OAB}$와 $\mathrm{OBC}$는 정삼각형이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = {\overline{\mathrm{BC}}} = 3$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\displaystyle \angle \mathrm{ABC} \mathit{=} \frac{2 \pi}{3}$이므로 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} ^{2} = 3 ^{2} + 3 ^{2} - 2 \times 3 \times 3 \times \cos \frac{2 \pi}{3} = 27$ $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}} = 3 \sqrt{3}$ 사각형 $\mathrm{ABCP}$가 원에 내접하므로 $\angle {\mathrm{ABC}} + \angle {\mathrm{APC}} = \pi$ 즉, $\displaystyle \angle \mathrm{APC} \mathit{=} \frac{\pi}{3}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}} = x$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{CP}}} = y$라 하면 삼각형 $\mathrm{ACP}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \left( 3 \sqrt{3} \right) ^{2} = x ^{2} + y ^{2} - 2 xy \cos \frac{\pi}{3}$ $27 = \left( x + y \right) ^{2} - 3 xy$ $x + y = 8$이므로 $\displaystyle xy = \frac{37}{3}$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 3 \times 3 \times \sin \frac{2 \pi}{3} = \frac{9 \sqrt{3}}{4}$ 삼각형 $\mathrm{ACP}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times x \times y \times \sin \frac{\pi}{3} = \frac{37 \sqrt{3}}{12}$ 따라서 사각형 $\mathrm{ABCP}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{9 \sqrt{3}}{4} + \frac{37 \sqrt{3}}{12} = \frac{16 \sqrt{3}}{3}$