대수삼각함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원에 내접하는 사각형 빈칸

문제

그림과 같이 AB‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}}=2= 2, BC‾\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}}=33\displaystyle = 3 \sqrt{3}, CA‾\displaystyle {\overline{\mathrm{CA}}}=13\displaystyle = \sqrt{13}인 삼각형 ABC\mathrm{ABC}가 있다. 선분 BC\mathrm{BC} 위에 점 B\mathrm{B}가 아닌 점 D\mathrm{D}를 AD‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}}=2= 2가 되도록 잡고, 선분 AC\mathrm{AC} 위에 양 끝점 A\mathrm{A}, C\mathrm{C}가 아닌 점 E\mathrm{E}를 사각형 ABDE\mathrm{ABDE}가 원에 내접하도록 잡는다.

다음은 선분 DE\mathrm{DE}의 길이를 구하는 과정이다.

삼각형 ABC\mathrm{ABC}에서 코사인법칙에 의하여 cos⁡(∠ABC)\cos \left( \angle \mathrm{ABC} \right)=□(가)= {\square {\left( \text{가} \right)}} 이다. 삼각형 ABD\mathrm{ABD}에서 sin⁡(∠ABD)\sin \left( \angle \mathrm{ABD} \right)=1−(□(가))2\displaystyle = \sqrt{1 - \left( {\square {\left( \text{가} \right)}} \right) ^{2}} 이므로 사인법칙에 의하여 삼각형 ABD\mathrm{ABD}의 외접원의 반지름의 길이는 □(나){\square {\left( \text{나} \right)}}이다. 삼각형 ADC\mathrm{ADC}에서 사인법칙에 의하여 CD‾sin⁡(∠CAD)\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{CD}}}}{\sin \left( \angle \mathrm{CAD} \right)}=AD‾sin⁡(∠ACD)\displaystyle = \frac{{\overline{\mathrm{AD}}}}{\sin \left( \angle \mathrm{ACD} \right)} 이므로 sin⁡(∠CAD)\sin \left( \angle \mathrm{CAD} \right)=CD‾AD‾×sin⁡(∠ACD)\displaystyle = \frac{{\overline{\mathrm{CD}}}}{{\overline{\mathrm{AD}}}} \times \sin \left( \angle \mathrm{ACD} \right)이다. 삼각형 ADE\mathrm{ADE}에서 사인법칙에 의하여 DE‾\displaystyle {\overline{\mathrm{DE}}}=□(다)= \mathit{\square {\left( \text{다} \right)}} 이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 pp, qq, rr라 할 때, p×q×rp \times q \times r의 값은? [4점] ①61313\displaystyle \frac{6 \sqrt{13}}{13}②71313\displaystyle \frac{7 \sqrt{13}}{13}③81313\displaystyle \frac{8 \sqrt{13}}{13}④91313\displaystyle \frac{9 \sqrt{13}}{13}⑤101313\displaystyle \frac{10 \sqrt{13}}{13}

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①

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해설

[출제의도] 사인법칙과 코사인법칙을 이용하여 선분의 길이를 구하는 과정을 추론한다.

삼각형 ABC\mathrm{ABC}에서 코사인법칙에 의하여 cos⁡(∠ABC)\cos \left( \angle \mathrm{ABC} \right)=22+(33)2−(13)22×2×33\displaystyle = \frac{2 ^{2} + \left( 3 \sqrt{3} \right) ^{2} - \left( \sqrt{13} \right) ^{2}}{2 \times 2 \times 3 \sqrt{3}}=□32\displaystyle = {\square {\frac{\sqrt{3}}{2}}} 이다. 삼각형 ABD\mathrm{ABD}에서 sin⁡(∠ABD)\sin \left( \angle \mathrm{ABD} \right)=1−(32)2\displaystyle = \sqrt{1 - \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) ^{2}}=12\displaystyle = \frac{1}{2} 이므로 사인법칙에 의하여 삼각형 ABD\mathrm{ABD}의 외접권의 반지름의 길이는 12×AD‾sin⁡(∠ABD)\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{{\overline{\mathrm{AD}}}}{\sin \left( \angle \mathrm{ABD} \right)}=□2= {\square {2}}이다. 삼각형 ADC\mathrm{ADC}에서 사인법칙에 의하여 CD‾sin⁡(∠CAD)\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{CD}}}}{\sin \left( \angle \mathrm{CAD} \right)}=AD‾sin⁡(∠ACD)\displaystyle = \frac{{\overline{\mathrm{AD}}}}{\sin \left( \angle \mathrm{ACD} \right)} 이므로 sin⁡(∠CAD)\sin \left( \angle \mathrm{CAD} \right)=CD‾AD‾×sin⁡(∠ACD)\displaystyle = \frac{{\overline{\mathrm{CD}}}}{{\overline{\mathrm{AD}}}} \times \sin \left( \angle \mathrm{ACD} \right)=32×1313\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{13}}{13}=3926\displaystyle = \frac{\sqrt{39}}{26} 이다. 삼각형 ADE\mathrm{ADE}에서 사인법칙에 의하여 DE‾\displaystyle {\overline{\mathrm{DE}}}=2×2×sin⁡(∠CAD)= 2 \times 2 \times \sin \left( \angle \mathrm{CAD} \right)=□23913\displaystyle = \mathit{\square {\frac{2 \sqrt{39}}{13}}} 이다. 따라서 pp=32\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{2}, qq=2= 2, rr=23913\displaystyle = \frac{2 \sqrt{39}}{13}이므로 p×q×rp \times q \times r=32×2×23913\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2 \times \frac{2 \sqrt{39}}{13}=61313\displaystyle = \frac{6 \sqrt{13}}{13}

태그

#사인법칙#코사인법칙#빈칸 추론

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